Question

如圖，已知拋物線的圖象與x軸的一個交點為B（5，0），另一個交點為A，且與y軸交于點C（0，5）。

（1）求直線BC與拋物線的解析式；
（2）若點M是拋物線在x軸下方圖象上的動點，過點M作MN∥y軸交直線BC于點N，求MN的最大值；
（3）在（2）的條件下，MN取得最大值時，若點P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點，以BC為邊作平行四邊形CBPQ，設平行四邊形CBPQ的面積為S₁，△ABN的面積為S₂，且S₁=6S₂，求點P的坐標。

Answer 1

解：（1）設直線BC的解析式為，
將B（5，0），C（0，5）代入，得，得。
∴直線BC的解析式為。
將B（5，0），C（0，5）代入，得，得。
∴拋物線的解析式。
（2）∵點M是拋物線在x軸下方圖象上的動點，∴設M。
∵點N是直線BC上與點M橫坐標相同的點，∴N。
∵當點M在拋物線在x軸下方時，N的縱坐標總大于M的縱坐標。
∴。
∴MN的最大值是。
（3）當MN取得最大值時，N。
∵的對稱軸是，B（5，0），∴A（1，0）�！郃B=4。
∴。
由勾股定理可得，。
設BC與PQ的距離為h，則由S₁=6S₂得：，即。
如圖，過點B作平行四邊形CBPQ的高BH，過點H作x軸的垂線交點E ，則BH=，EH是直線BC沿y軸方向平移的距離。

易得，△BEH是等腰直角三角形，
∴EH=。
∴直線BC沿y軸方向平移6個單位得PQ的解析式：
或。
當時，與聯立，得
，解得或。此時，點P的坐標為（－1，12）或（6，5）。
當時，與聯立，得
，解得或。此時，點P的坐標為（2，－3）或（3，－4）。
綜上所述，點P的坐標為（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）。

（1）由B（5，0），C（0，5），應用待定系數法即可求直線BC與拋物線的解析式。
（2）構造MN關于點M橫坐標的函數關系式，應用二次函數最值原理求解。
（3）根據S₁=6S₂求得BC與PQ的距離h，從而求得PQ由BC平移的距離，根據平移的性質求得PQ的解析式，與拋物線聯立，即可求得點P的坐標。