Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2﹣x+6與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．

（1）求點A、B的坐標；

（2）設點P是線段AC上一點，且S△ABP：S△BCP=1：3，求點P的坐標；

（3）若直線y=x+a與拋物線交于M、N兩點，當∠MON為銳角時，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣3，0），B（2，0）；（2）P（﹣， ）；（3）a＜﹣3或＜a＜

【解析】試題分析：（1）將y=0代入y=-x2-x+6，得出-x2-x+6=0，解方程求得x1=-3，x2=2，即可得到點A、B的坐標；

（2）先由拋物線y=-x2-x+6與y軸交于點C，得出OC=6．根據同高的兩個三角形面積比等于底邊之比，得到，過P作PH⊥x軸，垂足為H，那么．由PH∥CO，根據平行線分線段成比例定理求得PH=，AH=，那么HO=，進而得到點P的坐標；

（3）設直線y=x+a與拋物線y=-x2-x+6交于M（x1，y1）、N（x2，y2）兩點（M在N的左側），由，得x2+x+a-6=0，根據一元二次方程根與系數的關系得出x1+x2=-，x1x2=a-6，由y1=x1+a，y2=x2+a，得到y1y2=（x1+a）（x2+a）=-a+a2．當∠MON=90°時，由勾股定理得到OM2+O2=MN2，即=（x2-x1）2+（y2-y1）2，化簡整理得出x1x2+y1y2=0，依此求出a=-3或a=．再求出拋物線與直線只有一個公共點時，a=．然后結合圖形可知把直線y=x-3向下平移，∠MON是銳角；把直線y=x+向上平移，∠MON也是銳角，進而求出a的取值范圍．

試題解析：（1）∵y=-x2-x+6，

∴y=0時，即-x2-x+6=0，解得x1=-3，x2=2，

∴A（-3，0），B（2，0）；

（2）令x=0，得y=6，即OC=6．

由于△ABP和△BCP的高相等，所以面積比等于底邊之比，

即，

過P作PH⊥x軸，垂足為H， ．

∵PH∥CO，

∴，

∴PH=，AH=，

∴HO=，

∴P（-， ）；

（3）設直線y=x+a與拋物線y=-x2-x+6交于M（x1，y1）、N（x2，y2）兩點（M在N的左側），

由，得x2+x+a-6=0，

則x1+x2=-，x1x2=a-6，

∵y1=x1+a，y2=x2+a，

∴y1y2=（x1+a）（x2+a）

=x1x2+（x1+x2）a+a2

=-a+a2．

當∠MON=90°時，OM2+ON2=MN2，

即=（x2-x1）2+（y2-y1）2，

∴x1x2+y1y2=0，

∴a-6+-a+a2=0，即a2+a-=0，

∴a=-3或a=．

若拋物線與直線只有一個公共點，即方程x2+x+a-6=0有兩個相等的實數根，

則△=b2-4ac=0，解得：a=．

把直線y=x-3向下平移，∠MON是銳角，此時a＜-3，

把直線y=x+向上平移，∠MON也是銳角，此時＜a＜．

綜上所述，a的取值范圍是a＜-3或＜a＜．