Question

【題目】對于平面直角坐標系xOy中的點P和圖形N，給出如下定義：如果Q為圖形N上一個動點，P，Q兩點間距離的最大值為dmax，P，Q兩點間距離的最小值為dmin，我們把dmax + dmin的值叫點P和圖形N間的“和距離”，記作d（P，圖形N）．

（1）如圖，正方形ABCD的中心為點O，A(3，3)．

① 點O到線段AB的“和距離”d（O，線段AB）= ；

② 設該正方形與y軸交于點E和F，點P在線段EF上，d（P，正方形ABCD）=7，求點P的坐標．

（2）如圖2，在（1）的條件下，過C，D兩點作射線CD，連接AC，點M是射線CD上的一點，如果d（M，線段AD），直接寫出M點橫坐標t取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）① ，②(0，1)或(0，-1)；（2）

【解析】

(1)①根據“和距離“的定義計算：OE是兩點間距離的最小值，OA是兩點間的最大值，相加可得結論；
②分兩種情況：P在y軸的正半軸和負半軸上，根據“和距離“的定義，并由d(P，正方形ABCD)=7，列方程計算即可得；
(2)分M在線段CD上和延長線上兩種情況，利用“和距離”的定義列方程可得結論．

(1)①如圖1，連接OA，

∵四邊形ABCD是正方形，且A(3，3)，

∴dmax+dmin=OE+OA，

即d(O，線段AB)=，

故答案為：；

②設P(0，)，
∵d(P，正方形ABCD)=7，
∴dmax+dmin=7，
分兩種情況：
∵E(0，3)，F(0，-3)，且P是線段EF上一個動點，

當P在軸上方時，如圖2，連接PC，

∴dmax+dmin=PE+PC=7，

∴，

解得：，

∴P(0，1)，

當P在軸的下方時，由對稱性可知P(0，-1)；
綜上，點P的坐標為(0，1)或(0，-1)；

(2)分兩種情況：
①當時，如圖3，M在線段CD上，過M作MN⊥AC于N，連接AM，

∵M點橫坐標是t，
∴CM，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ACD=45°，
∴△CMN是等腰直角三角形，

∴，

∴d(M，線段AC)，

②當時，如圖4，M在線段CD的延長線上，過M作MN⊥AC于N，

同理，

∴d(M，線段AC)，

∵在動點M從C到D方向上運動時，MN+MA越來越大，

∴，

解得：，

，

解得：，

∴M點橫坐標t取值范圍是．