Question

【題目】如圖1，在直角坐標系中，O是坐標原點，點A在y軸正半軸上，二次函數y=ax2+ x+c的圖象F交x軸于B、C兩點，交y軸于M點，其中B（﹣3，0），M（0，﹣1）．已知AM=BC．

（1）求二次函數的解析式；
（2）證明：在拋物線F上存在點D，使A、B、C、D四點連接而成的四邊形恰好是平行四邊形，并請求出直線BD的解析式；
（3）在（2）的條件下，設直線l過D且分別交直線BA、BC于不同的P、Q兩點，AC、BD相交于N．
①若直線l⊥BD，如圖1，試求 的值；
②若l為滿足條件的任意直線．如圖2．①中的結論還成立嗎？若成立，證明你的猜想；若不成立，請舉出反例．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵二次函數y=ax2+ x+c的圖象經過點B（﹣3，0），M（0，﹣1），

∴ ，

解得a= ，c=﹣1．

∴二次函數的解析式為：y= x2+ x﹣1

（2）

解：由二次函數的解析式為：y= x2+ x﹣1，

令y=0，得 x2+ x﹣1=0，

解得x1=﹣3，x2=2，∴C（2，0），∴BC=5；

令x=0，得y=﹣1，∴M（0，﹣1），OM=1．

又AM=BC，∴OA=AM﹣OM=4，∴A（0，4）．

設AD∥x軸，交拋物線于點D，如圖1所示，

則yD= x2+ x﹣1=OA=4，

解得x1=5，x2=﹣6（位于第二象限，舍去）

∴D點坐標為（5，4）．

∴AD=BC=5，

又∵AD∥BC，

∴四邊形ABCD為平行四邊形．

即在拋物線F上存在點D，使A、B、C、D四點連接而成的四邊形恰好是平行四邊形．

設直線BD解析式為：y=kx+b，∵B（﹣3，0），D（5，4），

∴ ，

解得：k= ，b= ，

∴直線BD解析式為：y= x+

（3）

解：在Rt△AOB中，AB= =5，又AD=BC=5，∴ABCD是菱形．

①若直線l⊥BD，如圖1所示．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴AC∥直線l，

∴ ，

∵BA=BC=5，

∴BP=BQ=10，

∴ = = ；

②若l為滿足條件的任意直線，如圖2所示，此時①中的結論依然成立，理由如下：

∵AD∥BC，CD∥AB，

∴△PAD∽△DCQ，

∴ ，∴APCQ=ADCD=5×5=25．

∴

=

=

=

=

=

= ．

【解析】（1）利用待定系數法求出二次函數的解析式；（2）首先求出D點的坐標，可得AD=BC且AD∥BC，所以四邊形ABCD是平行四邊形；再根據B、D點的坐標，利用待定系數法求出直線BD的解析式；（3）本問的關鍵是判定平行四邊形ABCD是菱形．①推出AC∥直線l，從而根據平行線間的比例線段關系，求出BP、CQ的長度，計算出 = ；②判定△PAD∽△DCQ，得到APCQ=25，利用這個關系式對 進行分式的化簡求值，結論為 = 不變．
【考點精析】通過靈活運用平行四邊形的判定與性質，掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積即可以解答此題．