Question

【題目】如圖，⊙O的直徑AB的長為10，弦AC的長為5，∠ACB的平分線交⊙O于點D．

（1）求 的長．
（2）求弦BD的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，連接OC，OD，

，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=∠ADB=90°，

在Rt△ABC中，

∵ ，

∴∠BAC=60°，

∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，

∴ 的長=

（2）解：∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD，

∴∠AOD=∠BOD，

∴AD=BD，

∴∠ABD=∠BAD=45°，

在Rt△ABD中，

BD=AB×sin45°=10×

【解析】（1）首先根據AB是⊙O的直徑，可得∠ACB=∠ADB=90°，然后在Rt△ABC中，求出∠BAC的度數，即可求出∠BOC的度數；最后根據弧長公式，求出 的長即可．（2）首先根據CD平分∠ACB，可得∠ACD=∠BCD；然后根據圓周角定理，可得∠AOD=∠BOD，所以AD=BD，∠ABD=∠BAD=45°；最后在Rt△ABD中，求出弦BD的長是多少即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用等腰直角三角形和含30度角的直角三角形的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．