Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=x+2與x軸交于點A，與y軸交于點C．拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=-且經過A、C兩點，與x軸的另一交點為點B．

（1）①直接寫出點B的坐標；②求拋物線解析式．

（2）若點P為直線AC上方的拋物線上的一點，連接PA，PC．求△PAC的面積的最大值，并求出此時點P的坐標．

（3）拋物線上是否存在點M，過點M作MN垂直x軸于點N，使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 點B的坐標為1，0）．y=-x2-x+2．(2) △PAC的面積有最大值是4，此時P（-2，3）；（3）存在M1（0，2），M2（-3，2），M3（2，-3），M4（5，-18），使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似．

【解析】

試題分析：（1）①先求的直線y=x+2與x軸交點的坐標，然后利用拋物線的對稱性可求得點B的坐標；②設拋物線的解析式為y=y=a（x+4）（x-1），然后將點C的坐標代入即可求得a的值；

（2）設點P、Q的橫坐標為m，分別求得點P、Q的縱坐標，從而可得到線段PQ=-m2-2m，然后利用三角形的面積公式可求得S△PAC=×PQ×4，然后利用配方法可求得△PAC的面積的最大值以及此時m的值，從而可求得點P的坐標；

（3）首先可證明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下幾種情況分類討論即可：①當M點與C點重合，即M（0，2）時，△MAN∽△BAC；②根據拋物線的對稱性，當M（-3，2）時，△MAN∽△ABC； ④當點M在第四象限時，解題時，需要注意相似三角形的對應關系．

試題解析：（1）①y=x+2當x=0時，y=2，當y=0時，x=-4，

∴C（0，2），A（-4，0），

由拋物線的對稱性可知：點A與點B關于x=-對稱，

∴點B的坐標為1，0）．

②∵拋物線y=ax2+bx+c過A（-4，0），B（1，0），

∴可設拋物線解析式為y=a（x+4）（x-1），

又∵拋物線過點C（0，2），

∴2=-4a

∴a=-

∴y=-x2-x+2．

（2）設P（m，-x2-x+2）．

過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q，

∴Q（m， m+2），

∴PQ=-m2-m+2-（m+2）

=-m2-2m，

∵S△PAC=×PQ×4，

=2PQ=-m2-4m=-（m+2）2+4，

∴當m=-2時，△PAC的面積有最大值是4，

此時P（-2，3）．

（3）在Rt△AOC中，tan∠CAO=在Rt△BOC中，tan∠BCO=，

∴∠CAO=∠BCO，

∵∠BCO+∠OBC=90°，

∴∠CAO+∠OBC=90°，

∴∠ACB=90°，

∴△ABC∽△ACO∽△CBO，

如下圖：

①當M點與C點重合，即M（0，2）時，△MAN∽△BAC；

②根據拋物線的對稱性，當M（-3，2）時，△MAN∽△ABC；

③當點M在第四象限時，設M（n，-n2-n+2），則N（n，0）

∴MN=n2+n-2，AN=n+4

當時，MN=AN，即n2+n-2=（n+4）

整理得：n2+2n-8=0

解得：n1=-4（舍），n2=2

∴M（2，-3）；

當時，MN=2AN，即n2+n-2=2（n+4），

整理得：n2-n-20=0

解得：n1=-4（舍），n2=5，

∴M（5，-18）．

綜上所述：存在M1（0，2），M2（-3，2），M3（2，-3），M4（5，-18），使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似．