Question

【題目】已知直線（k＞0）與雙曲線（x＞0）交于點M、N，且點N的橫坐標為k. .

(1) 如圖1，當k=1時.

①求m的值及線段MN的長；

②在y軸上是否是否存在點Q，使∠MQN=90°，若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

(2) 如圖2，以MN為直徑作⊙P，當⊙P與y軸相切時，求k值.

Answer 1

【答案】(1)①m=7；MN=6；②（3）k=-3.

【解析】試題分析：（1）①根據題意直接代入即可求出m的值，然后求出M、N兩點的坐標，根據勾股定理可求解；

②如圖，過M、N作y軸的垂線于J、I，設Q(0，t)，由相似三角形的性質可求Q點的坐標；

（2）由雙曲線與直線聯立方程，得N(k,k+6), M(k+6，k),然后可求得MN的長，表示出P點的坐標，然后根據相切求出結果.

試題解析：(1) ① m=7，MN=6。

②存在，

如圖，過M、N作y軸的垂線于J、I，設Q(0，t)，

由相似三角形得，

解得，

所以Q點的坐標為， ；

(2)由雙曲線與直線聯立方程，得N(k,k+6), M(k+6，k),

求得MN=6，P(k+3,k+3),

∵⊙P與y軸相切,

∴k+3=,

所以k=-3