Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，0），（5，0），（3，﹣4）．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)y＞﹣3，寫出x的取值范圍； 
（3）A、B為直線y=﹣2x﹣6上兩動點(diǎn)，且距離為2，點(diǎn)C為二次函數(shù)圖象上的動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動到何處時(shí)△ABC的面積最小？求出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)及△ABC面積的最小值．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)（1，0），（5，0），（3，﹣4）在拋物線上，
∴，解得。
∴二次函數(shù)的解析式為：y=x²﹣6x+5。
（2）在y=x²﹣6x+5中，令y=﹣3，即x²﹣6x+5=﹣3，
整理得：x²﹣6x+8=0，解得x₁=2，x₂=4。
結(jié)合函數(shù)圖象，可知當(dāng)y＞﹣3時(shí)，x的取值范圍是：x＜2或x＞4。
（3）設(shè)直線y=﹣2x﹣6與x軸，y軸分別交于點(diǎn)M，點(diǎn)N，

令x=0，得y=﹣6；令y=0，得x=﹣2，
∴M（﹣3，0），N（0，﹣6）。
∴OM=3，ON=6，由勾股定理得：MN=，
∴。
設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（x，y），則y=x²﹣6x+5。。
過點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，
則CD=x，OD=﹣y，DN=6+y。
過點(diǎn)C作直線y=﹣2x﹣6的垂線，垂足為E，交y軸于點(diǎn)F，
在Rt△CDF中，DF=CD•tan∠MNO=x，。
∴FN=DN﹣DF=6+y﹣x。
在Rt△EFN中，EF=FN•sin∠MNO=（6+y﹣x），
∴CE=CF+EF=x+（6+y﹣x）。
∵C（x，y）在拋物線上，
∴y=x²﹣6x+5，代入上式整理得：CE=（x²﹣4x+11）=（x﹣2）²+。
∴當(dāng)x=2時(shí)，CE有最小值，最小值為。
當(dāng)x=2時(shí)，y=x²﹣6x+5=﹣3，∴C（2，﹣3）。
∴△ABC的最小面積為： AB•CE=×2×=。
∴當(dāng)C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣3）時(shí)，△ABC的面積最小，面積的最小值為。

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式。
（2）求出y=3時(shí)x的值，結(jié)合函數(shù)圖象，求出y＞﹣3時(shí)x的取值范圍。
（3）△ABC的底邊AB長度為2，是定值，因此當(dāng)AB邊上的高最小時(shí)，△ABC的面積最小．如解答圖所示，由點(diǎn)C向直線y=﹣2x﹣6作垂線，利用三角函數(shù)（或相似三角形）求出高CE的表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式求出CE的最小值，這樣問題得解。