Question

已知：如圖，在△ABC中，BC＝AC，以BC為直徑的⊙O與邊AB相交于點D，DE⊥AC，垂足為點E.
小題1:判斷DE與⊙O的位置關系，并證明你的結論
小題2:若DE的長為2，cosB＝，求⊙O的半徑.

Answer 1

小題1:如圖，連接CD，則CD⊥AB，　　

又∵AC＝BC，
∴AD＝BD , 即點D是AB的中點．…………………… 2分
DE是⊙O的切線．
理由是：連接OD，則DO是△ABC的中位線，
∴DO∥AC.
又∵DE⊥AC， 
∴DE⊥DO，
又∵OD是⊙O的半徑，
∴DE是⊙O的切線．…………… 3分
小題2:∵AC＝BC，∴∠B＝∠A，
∴cos∠B＝cos∠A＝.
∵cos∠A＝＝ 又DE=
∴AD＝3. ∴BD＝AD=3
∵cos∠B＝＝，
∴BC＝9，
∴半徑為……………3分

（1）連接OD，則OD為△ABC的中位線，OD∥AC，已知DE⊥AC，可證DE⊥OC，證明結論；
(2)利用勾股定理和直角三角形的角邊關系推出園的直徑，然后得出園的半徑。