Question

閱讀材料：如圖（一），△ABC的周長為l，內(nèi)切圓O的半徑為r，連接OA、OB、OC，△ABC被劃分為三個小三角形，用S_△ABC表示△ABC的面積．

∵S_△ABC=S_△OAB+S_△OBC+S_△OCA
又∵S_△OAB=

1

2

AB•r，S_△OBC=

1

2

BC•r，S_△OCA=

1

2

CA•r
∴S_△ABC=

1

2

AB•r+

1

2

BC•r+

1

2

CA•r=

1

2

l•r（可作為三角形內(nèi)切圓半徑公式）
（1）理解與應(yīng)用：利用公式計算邊長分為5、12、13的三角形內(nèi)切圓半徑；
（2）類比與推理：若四邊形ABCD存在內(nèi)切圓（與各邊都相切的圓，如圖（二））且面積為S，各邊長分別為a、b、c、d，試推導(dǎo)四邊形的內(nèi)切圓半徑公式；
（3）拓展與延伸：若一個n邊形（n為不小于3的整數(shù)）存在內(nèi)切圓，且面積為S，各邊長分別為a₁、a₂、a₃、…、a_n，合理猜想其內(nèi)切圓半徑公式（不需說明理由）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)上述三角形的內(nèi)切圓的半徑公式，由已知條件，結(jié)合勾股定理的逆定理得該三角形是直角三角形．可以首先求得其面積是30，其周長是5+12+13=30．再根據(jù)其公式代入計算；
（2）同樣連接圓心和四邊形的各個頂點以及圓心和的切點，根據(jù)四邊形的面積等于四個直角三角形的面積進行計算；
（3）根據(jù)上述方法和結(jié)論，即可猜想到：任意多邊形的內(nèi)切圓的半徑等于其面積的2倍除以多邊形的周長．

解答：解：（1）以5，12，13為邊長的三角形為直角三角形，易求得r=

2×30

5+12+13

=2；

（2）連接OA，OB，OC，OD，并設(shè)內(nèi)接圓半徑為r，
可得S_{四邊形ABCD}=S_△OAB+S_△OBC+S_△OCD+S_△ODA
=

1

2

a•r+

1

2

b•r+

1

2

c•r+

1

2

d•r=

1

2

（a+b+c+d）•r．
∴r=

2s

a+b+c+d

；

（3）猜想：r=

2s

a1+a2+…+an

．

點評：考查了學(xué)生由特殊推廣到一般的能力，掌握多邊形的內(nèi)切圓的半徑的計算方法．