Question

【題目】已知x1，x2是關于x的一元二次方程的兩實數根．

（1）求m的范圍；

（2）若，求m的值；

（3）已知等腰△ABC的一邊長為7，若x1，x2恰好是△ABC另外兩邊的邊長，求這個三角形的周長．

Answer 1

【答案】（1）m≥2；（2）m的值為6；（3）這個三角形的周長為17．

【解析】

（1）根據一元二次方程的判別式與根的關系可得△≥0，解不等式即可得出m的取值范圍；

（2）根據一元二次方程根與系數的關系可得出x1+x2和x1x2的值，代入可得關于m的方程，解方程求出m的值即可；

（3）分7為腰和底邊兩種情況，分別根據一元二次方程的解的定義及一元二次方程根的判別式求出m的值，可得出三角形的三邊長，根據三角形的三邊關系即可求出三角形的周長．

（1）∵關于x的一元二次方程有兩實數根，

∴△=4（m+1）2-4（m2+5）=8m-16≥0，

解得：m≥2．

（2）∵x1，x2是關于x的一元二次方程的兩實數根．

∴x1+x2=2（m+1），x1x2=m2+5，

∵（x1-1）（x2 -1）=28，即x1x2-（x1+x2）+1=28，

∴m2+5-2（m+1）+1=28，

整理得：m2-2m-24=0，解得m1=6，m2=-4，

由（1）得m≥2，

∴m的值為6．

（3）①當7為腰時，則x1、x2中有一個為7，設x1=7，

把x1=7代入方程得：49-14（m+1）+m2+5=0，

整理得m2-14m+40=0，

解得m1=10，m2=4，

當m=10時，x1+x2=2（m+1）=22，

解得：x2=15，

∵7+7<15，

∴不能構成三角形，故舍去；

當m=4時，x1+x2=2（m+1）=10，

解得：x2=3，

∴三角形周長為3+7+7=17；

②當7為底邊時，則x1=x2，

∴△=8m-16=0，

解得：m=2，

∴方程化為x2-6x+9=0，解得x1=x2=3，

∵3+3<7，

∴不能構成三角形，故舍去，

∴這個三角形的周長為17．