Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，且點(diǎn)B與點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為B（3，0）．C（0，3），點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求二次函數(shù)的關(guān)系式；

（2）點(diǎn)P為線段MB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D．若OD=m，△PCD的面積為S，試判斷S有最大值或最小值？并說明理由；

（3）在MB上是否存在點(diǎn)P，使△PCD為直角三角形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）解析式為y=﹣x2+2x+3；（2）當(dāng)m=時(shí)，S有最大值，最大值為； （3）存在，P點(diǎn)坐標(biāo)為（，3）或（﹣3+3，12﹣6）時(shí)，△PCD為直角三角形．

【解析】試題分析：（1）把B點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=﹣x2+bx+c得到關(guān)于b、c的方程組，然后解方程組求出b、c即可得到拋物線解析式；

（2）把（1）中的一般式配成頂點(diǎn)式可得到M（1，4），設(shè)直線BM的解析式為y=kx+n，再利用待定系數(shù)法求出直線BM的解析式，則P（m，﹣2m+6）（1≤m＜3），于是根據(jù)三角形面積公式得到S=﹣m2+3m，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題；

（3）討論：∠PDC不可能為90°；當(dāng)∠DPC=90°時(shí)，易得﹣2m+6=3，解方程求出m即可得到此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)∠PCD=90°時(shí)，利用勾股定理得到和兩點(diǎn)間的距離公式得到m2+（﹣2m+3）2+32+m2=（﹣2m+6）2，

然后解方程求出滿足條件的m的值即可得到此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：（1）把B（3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c得，解得，

所以拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；

（2）S有最大值．理由如下：

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴M（1，4），

設(shè)直線BM的解析式為y=kx+n，

把B（3，0），M（1，4）代入得，解得，

∴直線BM的解析式為y=﹣2x+6，

∵OD=m，

∴P（m，﹣2m+6）（1≤m＜3），

∴S=m（﹣2m+6）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，

∵1≤m＜3，

∴當(dāng)m=時(shí)，S有最大值，最大值為；

（3）存在．

∠PDC不可能為90°；

當(dāng)∠DPC=90°時(shí)，則PD=OC=3，即﹣2m+6=3，解得m=，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，3），

當(dāng)∠PCD=90°時(shí)，則PC2+CD2=PD2，即m2+（﹣2m+3）2+32+m2=（﹣2m+6）2，

整理得m2+6m﹣9=0，解得m1=﹣3﹣3（舍去），m2=﹣3+3，

當(dāng)m=﹣3+3時(shí)，y=﹣2m+6=6﹣6+6=12﹣6，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3+3，12﹣6），

綜上所述，當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，3）或（﹣3+3，12﹣6）時(shí)，△PCD為直角三角形．