Question

【題目】四邊形ABCD的對角線交于點E，有AE=EC，BE=ED，以AB為直徑的半圓過點E，圓心為O．

（1）利用圖1，求證：四邊形ABCD是菱形．
（2）如圖2，若CD的延長線與半圓相切于點F，已知直徑AB=8．
①連結OE，求△OBE的面積．
②求弧AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵AE=EC，BE=ED，

∴四邊形ABCD是平行四邊形．

∵AB為直徑，且過點E，

∴∠AEB=90°，即AC⊥BD．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴四邊形ABCD是菱形．

（2）

證明：①連結OF．

∵CD的延長線與半圓相切于點F，

∴OF⊥CF．

∵FC∥AB，

∴OF即為△ABD中AB邊上的高．

∴S△ABD= AB×OF= ×8×4=16，

∵點O是AB中點，點E是BD的中點，

∴S△OBE= S△ABD=4．

②過點D作DH⊥AB于點H．

∵AB∥CD，OF⊥CF，

∴FO⊥AB，

∴∠F=∠FOB=∠DHO=90°．

∴四邊形OHDF為矩形，即DH=OF=4．

∵在Rt△DAH中，sin∠DAB= = ，

∴∠DAH=30°．

∵點O，E分別為AB，BD中點，

∴OE∥AD，

∴∠EOB=∠DAH=30°．

∴∠AOE=180°﹣∠EOB=150°．

∴弧AE的長= = ．

【解析】（1）先由AE=EC、BE=ED可判定四邊形為平行四邊形，再根據(jù)∠AEB=90°可判定該平行四邊形為菱形；（2）①連結OF，由切線可得OF為△ABD的高且OF=4，從而可得S△ABD ， 由OE為△ABD的中位線可得S△OBE= S△ABD； ②作DH⊥AB于點H，結合①可知四邊形OHDF為矩形，即DH=OF=4，根據(jù)sin∠DAB= = 知∠EOB=∠DAH=30°，即∠AOE=150°，根據(jù)弧長公式可得答案本題主要考查菱形的判定即矩形的判定與性質、切線的性質，熟練掌握其判定與性質并結合題意加以靈活運用是解題的關鍵．