Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點E，過點D作FG⊥AC于點F，交AB的延長線于點G．

（1）求證：FG是⊙O的切線；

（2）若tanC=2，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BG：GA=1：4．

【解析】（1）欲證明FG是⊙O的切線，只要證明OD⊥FG即可；

（2）由△GDB∽△GAD，設BG=a．可得，推出DG=2a，AG=4a，由此即可解決問題.

（1）如圖，連接AD、OD，

∵AB是直徑，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∵AC=AB，

∴CD=BD，

∵OA=OB，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，

∴FG是⊙O的切線；

（2）∵tanC==2，BD=CD，

∴BD：AD=1：2，

∵∠GDB+∠ODB=90°，∠ADO+∠ODB=90°，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠GDB=∠GAD，

∵∠G=∠G，

∴△GDB∽△GAD，設BG=a．

∴，

∴DG=2a，AG=4a，

∴BG：GA=1：4．