Question

【題目】平面直角坐標系中，A（0，4），點P從原點O開始向x軸正方向運動，設P點橫坐標為m，以點P為圓心，PO為半徑作⊙P交x 軸另一點為C，過點A作⊙P的切線交 x軸于點B，切點為Q．

（1）如圖1，當B點坐標為（3，0）時，求m；

（2）如圖2，當△PQB為等腰三角形時，求m；

（3）如圖3，連接AP，作PE⊥AP交AB于點E，連接CE，求證：CE是⊙P的切線；

（4）若在x軸上存在點M（8，0），在點P整個運動過程中，求MQ的最小值．

Answer 1

【答案】（1）m=（2）m=4﹣4（3）證明見解析（4）4﹣4

【解析】試題分析： 如圖1中，由 由此即可解決問題．
（2）如圖2中，設 則 列出方程即可解決問題．
（3）如圖3中，連接PQ.只要證明 推出 由此即可證明．
（4）以為圓心為半徑畫圓交于點，此時最小（兩點之間線段最短），設 在中，根據 列出方程即可解決問題．

試題解析：(1)如圖1中，連接PQ.

∵OP⊥OA，

∴AO是P切線，∵AQ是P切線，

∴AO=AQ=4，

∵OA=4，0B=3，

∴BQ=ABAQ=1，

(2)如圖2中，連接PQ.

∵△PQB是等腰直角三角形，

∴OP=PQ=BQ,設OP=PQ=BQ=x,則

則有

(3)如圖3中，連接PQ.

AQ是切線，

∴∠EPQ=∠PAQ，

∴∠EPC=∠PAO，

∵AO、AQ是切線，

∴∠PAO=∠PAQ，

∴∠EPC=∠EPQ，

在△EPC和△EPQ中，

∴EC是的切線.

(4)如圖4中，

以A為圓心OA為半徑畫圓交AM于點Q,此時MQ最小(兩點之間線段最短)，

設QM=x，

在中,

解得或 (舍棄)，

∴MQ的最小值為.