Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于A（﹣1，0）、B（5，0）兩點，與y軸交于點C（0，5）．

（1）求該拋物線所對應的函數關系式；

（2）D是笫一象限內拋物線上的一個動點（與點C、B不重合），過點D作DF⊥x軸于點F，交直線BC于點E，連結BD、CD．設點D的橫坐標為m，△BCD的面積為S．

①求S關于m的函數關系式及自變量m的取值范圍；

②當m為何值時，S有最大值，并求這個最大值；

③直線BC能否把△BDF分成面積之比為2：3的兩部分？若能，請求出點D的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的函數關系式為y=﹣x2+4x+5；

（2）①S關于m的函數關系式為s=﹣m2+m （0＜m＜5）；

②當m=時，S有最大值，S最大值=；

③直線BC能把△BDF分成面積之比為2：3的兩部分，點D的坐標為（）或（）

【解析】（1）由拋物線與x軸的兩個交點坐標可設拋物線的解析式y=a（x+1）（x-5），將點C（0，3）代入拋物線解析式中即可得出關于a一元一次方程，解方程即可求出a的值，從而得出拋物線的解析式；

（2）設直線BC的函數解析式為y=kx+b，結合點B、點C的坐標，利用待定系數法求出直線BC的函數解析式，再由點橫坐標為m得出點D、點E的坐標，結合兩點間的距離公式以及三角形的面積公式，即可得出結論； 由 的結論，利用配方法將S關于m的函數關系式進行變形，從而得出結論；

結合圖象可知△BDE和△BFE是等高的，由此得出它們的面積比=DE：EF，分兩種情況考慮，根據兩點間的距離公式即可得出關于m的分式方程，解方程即可得出m的值，將其代入到點D的坐標中即可得出結論.

（1）∵拋物線經過A（﹣1，0），B（5，0），C（0，5），

∴設y=a（x+1）（x﹣5），

∴5=a（0+1）（0﹣5），

解得a=﹣1，

∴拋物線的函數關系式為y=﹣（x+1）（x﹣5），

即y=﹣x2+4x+5；

（2）①設直線BC的函數關系式為y=kx+b，則

解得，

∴y=﹣x+5，

設D（m，﹣m2+4m+5），E（m，﹣m+5），

∴DE=﹣m2+4m+5+m﹣5=﹣m2+5m

∴s=（﹣m2+5m）=﹣m2+m （0＜m＜5）；

②s=﹣m2+m=，

∵，

∴當m=時，S有最大值，S最大值=；

③∵△BDE和△BFE是等高的，

∴它們的面積比=DE：EF，

（ⅰ）當DE：EF=2：3時，

即，

解得：（舍），

此時，D（）；

（ⅱ）當DE：EF=3：2時，

即，

解得：（舍），

此時，D（）．

綜上所述，點D的坐標為（）或（）．

“點睛”本題屬于二次函數綜合題，主要考查了二次函數的性質、待定系數法求函數解析式、兩點間的公式以及三角形的面積公式的綜合應用，解題的關鍵是運用待定系數法求解析式；找出直線BC的函數解析式；運用配方法解決問題.解題時注意分類討論的思想的運用.