Question

【題目】閱讀資料：我們把頂點在圓上，并且一邊和圓相交、另一邊和圓相切的角叫做弦切角，如圖1∠ABC所示．同學們研究發現：P為圓上任意一點，當弦AC經過圓心O時，且AB切⊙O于點A，此時弦切角∠CAB=∠P（圖2）
證明：∵AB切⊙O于點A，∴∠CAB=90°，又∵AC是直徑，∴∠P=90°∴∠CAB=∠P

問題拓展：若AC不經過圓心O（如圖3），該結論：弦切角∠CAB=∠P還成立嗎？請說明理由．
知識運用：如圖4，AD是△ABC中∠BAC的平分線，經過點A的⊙O與BC切于點D，與AB、AC分別相交于E、F．求證：EF∥BC．

Answer 1

【答案】解：問題拓展：成立．
如圖3，連接AO并延長交⊙O于點D，連接CD，
則∠D=∠P，
∵AD是直徑，
∴∠D+∠CAD=90°，
又∵AB切圓于點A，
∴∠CAB+∠CAD=90°，
∴∠CAB=∠CAD，
而∠CAD=∠P，
∴∠CAB=∠P；
知識運用：如圖4，連接DF，
∵AD是△ABC中∠BAC的平分線，
∴∠EAD=∠DAC，
∵⊙O與BC切于點D，
∴∠FDC=∠DAC，
∴∠FDC=∠EAD，
∵在⊙O中∠EAD=∠EFD，
∴∠FDC=∠EFD，
∴EF∥BC．


【解析】問題拓展：首先連接AO并延長交⊙O于點D，連接CD，由圓周角定理可得∠D=∠P，又由AD是直徑，AB切圓于點A，易證得∠CAB=∠CAD，繼而證得結論；
知識運用：連接DF，AD是△ABC中∠BAC的平分線，⊙O與BC切于點D，可得∠FDC=∠EAD，又由圓周角定理可得∠EAD=∠EFD，繼而證得結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解切線的性質定理的相關知識，掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．