Question

【題目】如圖，直線l：y=x+6交x、y軸分別為A、B兩點，C點與A點關于y軸對稱．動點P、Q分別在線段AC、AB上（點P不與點A、C重合），滿足∠BPQ=∠BAO．

（1）點A坐標是 ，點B的坐標 ，BC= ．

（2）當點P在什么位置時，△APQ≌△CBP，說明理由．

（3）當△PQB為等腰三角形時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）A的坐標是（﹣8，0），點B的坐標是（0，6），BC==10，（2）當P的坐標是（2，0）時，△APQ≌△CBP．（3）（﹣8，0），（0，6），10．

【解析】

試題分析：（1）把x=0和y=0分別代入一次函數的解析式，求出A、B的坐標，根據勾股定理求出BC即可．

（2）求出∠PAQ=∠BCP，∠AQP=∠BPC，根據點的坐標求出AP=BC，根據全等三角形的判定推出即可．

（3）分為三種情況：①PQ=BP，②BQ=QP，③BQ=BP，根據（2）即可推出①，根據三角形外角性質即可判斷②，根據勾股定理得出方程，即可求出③．

解：（1）∵y=x+6

∴當x=0時，y=6，

當y=0時，x=﹣8，

即點A的坐標是（﹣8，0），點B的坐標是（0，6），

∵C點與A點關于y軸對稱，

∴C的坐標是（8，0），

∴OA=8，OC=8，OB=6，

由勾股定理得：BC==10，

（2）當P的坐標是（2，0）時，△APQ≌△CBP，

理由是：∵OA=8，P（2，0），

∴AP=8+2=10=BP，

∵∠BPQ=∠BAO，∠BAO+∠AQP+∠APQ=180°，∠APQ+∠BPQ+∠BPC=180°，

∴∠AQP=∠BPC，

∵A和C關于y軸對稱，

∴∠BAO=∠BCP，

在△APQ和△CBP中，

，

∴△APQ≌△CBP（AAS），

∴當P的坐標是（2，0）時，△APQ≌△CBP．

（3）分為三種情況：

①當PB=PQ時，∵由（2）知，△APQ≌△CBP，

∴PB=PQ，

即此時P的坐標是（2，0）；

②當BQ=BP時，則∠BPQ=∠BQP，

∵∠BAO=∠BPQ，

∴∠BAO=∠BQP，

而根據三角形的外角性質得：∠BQP＞∠BAO，

∴此種情況不存在；

③當QB=QP時，則∠BPQ=∠QBP=∠BAO，

即BP=AP，

設此時P的坐標是（x，0），

∵在Rt△OBP中，由勾股定理得：BP2=OP2+OB2，

∴（x+8）2=x2+62，

解得：x=﹣，

即此時P的坐標是（﹣，0）．

∴當△PQB為等腰三角形時，點P的坐標是（2，0）或（﹣，0）．

故答案為：（﹣8，0），（0，6），10．