Question

【題目】已知關于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣ ）=0
（1）求證：無論k取何值，這個方程總有實數根；
（2）若等腰三角形ABC的一邊長a=4，另兩邊b、c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：△=（2k+1）2﹣4×4（k﹣ ）

=4k2+4k+1﹣16k+8，

=4k2﹣12k+9

=（2k﹣3）2，

∵（2k﹣3）2≥0，即△≥0，

∴無論k取何值，這個方程總有實數根；

（2）解：當b=c時，△=（2k﹣3）2=0，解得k= ，方程化為x2﹣4x+4=0，解得b=c=2，而2+2=4，故舍去；

當a=b=4或a=c=4時，把x=4代入方程得16﹣4（2k+1）+4（k﹣ ）=0，解得k= ，方程化為x2﹣6x+8=0，解得x1=4，x2=2，即a=b=4，c=2或a=c=4，b=2，

所以△ABC的周長=4+4+2=10．

【解析】（1）先計算判別式的值得到△=4k2﹣12k+9，配方得到△=（2k﹣3）2 ， 根據非負數的性質易得△≥0，則根據判別式的意義即可得到結論；（2）分類討論：當b=c時，則△=（2k﹣3）2=0，解得k= ，然后解方程得到b=c=2，根據三角形三邊關系可判斷這種情況不符號條件；當a=b=4或a=c=4時，把x=4代入方程可解得k= ，則方程化為x2﹣6x+8=0，解得x1=4，x2=2，所以a=b=4，c=2或a=c=4，b=2，然后計算△ABC的周長．