Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c過點B（3，0），C（0，3），D為拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式以及頂點坐標；
（2）如果點C關于拋物線y=﹣x2+bx+c對稱軸的對稱點為E點，連接BC，BE，求tan∠CBE的值；
（3）點M是拋物線對稱軸上一點，且△DAM和△BCE相似，求點M坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=﹣x2+bx+c過點B（3，0），C（0，3），

∴ ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3，

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴頂點D的坐標為（1，4）

（2）解：拋物線的對稱軸為直線x=1，

∵點C與E點為拋物線上的對稱點，

∴E（2，3），

作EH⊥BC于H，如圖1，

∵OC=OB，

∴△OBC為等腰直角三角形，

∴∠OCB=45°，BC= OB=3 ，

∴∠ECB=45°，

∴△CHE為等腰直角三角形，

∴CH=EH= CE= ，

∴BH=BC﹣CH=2 ，

在Rt△BEH中，tan∠EBH= = = ，

即tan∠CBE的值為 ；

（3）解：直線x=﹣1交x軸于F，如圖2，

當y=0時，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，則A（﹣1，0）

∵A（﹣1，0），D（1，4），

∴AF=2，DF=4，

∴tan∠ADF= = ，

而tan∠CBE= ，

∴∠CBE=∠ADF，

AD= =2 ，BE= = ，BC=3 ，

當點M在點D的下方時，設M（1，m），

當 = 時，△DAM∽△BCE，

即 = ，解得m= ，

此時M點的坐標為（1， ）；

當 = 時，△DAM∽△BEC，

即 = ，解得m=﹣2，

此時M點的坐標為（1，﹣2）；

當點M在D點上方時，則∠ADM與∠CBE互補，則△DAM和△BCE不相似，

綜上所述，滿足條件的點M坐標為（1， ），（1，﹣2）

【解析】（1）利用待定系數法求拋物線，然后把解析式配成頂點式，從而得到D的坐標；（2）先利用拋物線的對稱性得到E（2，3），作EH⊥BC于H，如圖1，易得△OBC為等腰直角三角形得到∠OCB=45°，BC= OB=3 ，接著判斷△CHE為等腰直角三角形得到CH=EH= CE= ，所以BH=2 ，然后利用正切的定義求解；（3）直線x=﹣1交x軸于F，如圖2，解方程﹣x2+2x+3=0得A（﹣1，0），再利用正切定義得到tan∠AD= ，所以∠CBE=∠ADF，根據相似三角形的判定方法，當點M在點D的下方時，設M（1，m），當 = 時，△DAM∽△BCE；當 = 時，△DAM∽△BEC，于是利用相似比得到關于m的方程，解方程求出m即可得到對應的M點的坐標；當點M在D點上方時，則∠ADM與∠CBE互補，則可判斷△DAM和△BCE不相似，
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的應用的相關知識點，需要掌握測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解才能正確解答此題．