Question

【題目】如圖，拋物線y= x2+bx﹣2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A（一1，0）．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結論；
（3）點M是拋物線對稱軸上的一個動點，當△ACM周長最小時，求點M的坐標及△ACM的最小周長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點A（﹣1，0）在拋物線y= x2+bx﹣2上，

∴ ×（﹣1 ）2+b×（﹣1）﹣2=0，

解得：b=﹣ ，

∴拋物線的解析式為y= x2﹣ x﹣2．

y= （x﹣ ）2﹣ ，

∴頂點D的坐標為：（ ，﹣ ）

（2）解：當x=0時y=﹣2，∴C（0，﹣2），OC=2．

當y=0時， x2﹣ x﹣2=0，

解得：x1=﹣1，x2=4，

∴B （4，0），

∴OA=1，OB=4，AB=5．

∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，

∴AC2+BC2=AB2．

∴△ABC是直角三角形

（3）解：如圖所示：連接AM，

點A關于對稱軸的對稱點B，BC交對稱軸于點M，根據軸對稱性及兩點之間線段最短可知，

MC+MA的值最小，即△ACM周長最小，

設直線BC解析式為：y=kx+d，則 ，

解得： ，

故直線BC的解析式為：y= x﹣2，

當x= 時，y=﹣ ，

∴M（ ，﹣ ），

△ACM最小周長是：AC+AM+MC=AC+BC= +2 =3 ．

【解析】（1）直接將（﹣1，0），代入解析式進而得出答案，再利用配方法求出函數頂點坐標；（2）分別得出AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，進而利用勾股定理的逆定理得出即可；（3）利用軸對稱最短路線求法得出M點位置，再求△ACM周長最小值．