Question

【題目】閱讀下面材料：隨著人們認識的不斷深入，畢達哥拉斯學派逐漸承認不是有理數，并給出了證明．假設是有理數，那么存在兩個互質的正整數p，q，使得，于是，兩邊平方得p2=2q2 ． 因為2q2是偶數，所以p2是偶數，而只有偶數的平方才是偶數，所以p也是偶數．因此可設p=2s，代入上式，得4s2=2q2 ， 即q2=2s2 ， 所以q也是偶數，這樣，p和q都是偶數，不互質，這與假設p，q互質矛盾，這個矛盾說明， 不能寫成分數的形式，即不是有理數．請你有類似的方法，證明不是有理數．

Answer 1

【答案】證明見解析.

【解析】試題分析：根據題意利用反證法假設是有理數，進而利用假設得出矛盾，從而得出假設不成立原命題正確．

試題解析：假設 是有理數， 則存在兩個互質的正整數m，n，使得 = ，

于是有2m3=n3 ，

∵n3是2的倍數，

∴n是2的倍數，

設n=2t（t是正整數），則n3=8t3 ， 即8t3=2m3 ，

∴4t3=m3 ，

∴m也是2的倍數，

∴m，n都是2的倍數，不互質，與假設矛盾，

∴假設錯誤，

∴不是有理數.