Question

【題目】如圖1，正方形 ABCD中，點A、B的坐標分別為（0，10），（8，4），點C在第一象限．動點P在正方形ABCD的邊上，從點A出發沿A→B→C→D勻速運動，同時動點Q以相同速度在x軸上運動，當P點到D點時，兩點同時停止運動，設運動的時間為t秒．

（1）當P點在邊AB上運動時，點Q的橫坐標（長度單位）關于運動時間t（秒）的函數圖象如圖2所示，請寫出點Q開始運動時的坐標及點P運動速度；

（2）求正方形邊長及頂點C的坐標；

（3）在（1）中當t為何值時，△OPQ的面積最大，并求此時P點的坐標．

（4）如果點P、Q保持原速度速度不變，當點P沿A→B→C→D勻速運動時，OP與PQ能否相等，若能，寫出所有符合條件的t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）(1,0)，點P每秒鐘運動1個單位長度;（2）AB＝10,點C的坐標為（14，12）;（3）當時，△OPQ的面積最大．此時P的坐標為(，);（4）當或時, OP與PQ相等．

【解析】試題分析: （1）根據題意，觀察圖象可得x與t的關系，進而可得答案；

（2）過點B作BF⊥y軸于點F，BE⊥x軸于點E，易得BF=8，OF=BE=4，進而在Rt△AFB中，由勾股定理可得AB=10；進一步易得△ABF≌△BCH，再根據BH與OG的關系，可得C的坐標；

（3）過點P作PM⊥y軸于點M，PN⊥x軸于點N，易得△APM∽△ABF；進而可得對應邊的比例關系，解可得AM、PM與t的關系，由三角形面積公式，可得答案．

（4）此題需要分類討論：當P在BC上時，求得t的值；當P在CD上時，求得t的值；即當t=時；當P在BA上時，求得t的值．

試題解析:

（1）Q(1,0), Q的圖象是一條直線,且過點(11,0).且點P運動速度每秒鐘1個單位長度.

（2）過點B作BE⊥y軸于點E，過點C作x軸的垂線交直線BE于F，交x軸于H．

在Rt△ABE中，BE＝8，AE＝10－4＝6，

所以AB＝10．

由△ABE≌△BCF，

知BF＝AE＝4，CF＝BE＝6．

所以EF＝8＋6＝14，CH＝8＋4＝12．

因此點C的坐標為（14，12）．

（3）過點P作PM⊥y軸于M，PN⊥軸于N．

因為PM//BE，

所以，

即．

因此．

于是．

設△OPQ的面積為(平方單位)，

那么，定義域為0≤≤10．

因為拋物線開口向下，對稱軸為直線，所以當時，△OPQ的面積最大．此時P的坐標為(，)．

（4）OP與PQ相等，組成等腰三角形，即當P點的橫坐標等于Q點的橫坐標的一半時，

當P在BC上時,8+(t10)=(t+1),解得：t=15(舍去)

當P在CD上時,14(t20)= (t+1),解得：t=，

即當t=時，OP與PQ相等。

當P在BA上時,t=,OP與PQ相等,

∴當或時, OP與PQ相等．