Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是 的中點，CE⊥AB于E，BD交CE于點F．
（1）求證：CF=BF；
（2）若CD=6，AC=8，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：延長CE交⊙O于點P，

∵CE⊥AB，

∴ = ，

∴∠BCP=∠BDC，

∵C是 的中點，

∴CD=CB，

∴∠BDC=∠CBD，

∴∠CBD=∠BCP，

∴CF=BF

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵CD=6，AC=8，

∴BC=6，

在Rt△ABC中，AB= =10，

∴⊙O的半徑為5．

【解析】（1）首先延長CE交⊙O于點P，由垂徑定理可證得∠BCP=∠BDC，又由C是 的中點，易證得∠BDC=∠CBD，繼而可證得CF=BF；（2）由AB是⊙O的直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，可得∠ACB=90°，然后由勾股定理求得AB的長，繼而求得答案．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對圓心角、弧、弦的關系的理解，了解在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等；在同圓或等圓中，同弧等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．