Question

【題目】如圖，D為ABC的AB邊上一點，E為AC延長線上的一點，且CE=BD。

（1）當AB=AC時，求證：DE>BC

（2）當AB≠AC時，DE與BC有何大小關系？給出結論，畫出圖形，并證明。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】試題分析：

（1）如圖1，過點D作DF∥BC，過點C作CF∥AB，連接EF，從而可得DF=BC，這樣就把分散的線段集中到了△DEF中，只需證DE>DF即可；易證∠1=∠2，∠3=∠4，∠3>∠5，從而可得∠DFE>∠DEF，∴DE>DF，從而得到：DE>BC；

（2）當ABAC時，我們要分AB>AC和AB<AC兩種情況來討論，

其中：①當AB>AC，且AB=AE時，如圖2，結合已知條件此時我們易證△ABC≌△AED，從而得到BC=DE；

②當AB>AC，且AB>AE時，如圖3，延長AE到F，使AF=AB，在AB上截取AN=AC，易證△ABC≌△AFN，得到∠F=∠B；再過D作DM∥BC，過C作CM∥BD，得到四邊形DBCM是平行四邊形，由此可得∠DMC=∠B=∠F，DM=BC；連接ME，則法通過在△DME中證∠DEM>∠DME得到DM>DE，從而得到BC>DE；

③當AB>AC，且AB<AE時，如圖4，延長AB到F，使AF=AE，在AE上截取AN=AD，連接NF，易證△AFN≌△AED，可得∠F=∠AED，由∠ABC>∠F得到∠ABC>∠AED；再作DM∥BC，CM∥AB，可得四邊形DBCM是平行四邊形，得到DM=BC，∠DMC=∠ABC，就可得∠DMC>∠AED；連接ME，在△DME中通過證∠DME>∠DEM，得到DE>DM，就可得到DE>BC；

④當AB<AC<AE時，如圖5，延長AB至F，使AF=AE，在AC上截取AN=AD；過點D作DM∥BC，過點C作CM∥AB，連接ME；同上可證：DE>BC.

試題解析：

（１）作DF∥BC，CF∥BD（如圖1），

得□BCFD，從而∠DFC＝∠B，

DF＝BC，CF＝BD．

又BD＝CE，∴CF＝CE，

∴∠1＝∠2．

∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B．

而∠DFE＝∠DFC＋∠1＝∠B＋∠1

＝∠ACB＋∠2＞∠AED＋∠2＝∠DEF，

即在△DEF中，∵∠DFE＞∠DEF，

∴DE＞DF，即DE＞BC．

（２）當AB≠AC時，DE與BC的大小關系如下：

當AB＞AC但AB＝AE時，DE＝BC；

當AB＞AC且AB＞AE時，DE＜BC；

當AB＞AC但AB＜AE時，DE＞BC；

當AB＜AC時，DE＞BC．

證明如下：

①當AB＞AC但AB＝AE時（如圖2），

∵BD＝CE，∴AB－BD＝AE－CE，即AD＝AC．

在△ABC和△AED中，

∵AB＝AE，∠A＝∠A，AC＝AD，

∴△ABC≌△AED（SAS），∴BC＝ED；

②當AB＞AC且AB＞AE時，

延長AE到F，使AF＝AB，

在AB上截取AN＝AC（如圖3），連結NF．

在△ABC和△AFN中，

∵AB＝AF，∠A＝∠A，AC＝AN，

∴△ABC≌△AFN（SAS），∴∠B＝∠F．

∵∠AED＞∠F，∴∠AED＞∠B．

過D點作DM∥BC，過點C作CM∥AB，連結EM，

則四邊形DBCM為平行四邊形，∴∠DMC＝∠B，CM＝BD，DM=BC，

∵BD=CE，∴CM＝CE，∴∠CME＝∠CEM，

∵∠DMC＝∠B＜∠AED，∴∠CME＋∠DMC＜∠AED＋∠CEM，

即∠DME＜∠DEM，∴DE＜DM，∴DE＜BC；

③當AB＞AC但AB＜AE時，延長AB到F，使AF＝AE，

在AE上截取AN＝AD（如圖4），連結NF,

在△AFN和△AED中，

∵AF＝AE，∠A＝∠A，AN＝AD，

∴△AFN≌△AED（SAS），

∴∠F＝∠AED，

∵∠ABC＞∠F，

∴∠ABC＞∠AED，

過D點作DM∥BC，過點C作CM∥AB，連接EM，

則四邊形DBCM為平行四邊形，

∴∠DMC＝∠ABC，CM＝BD，

∵BD＝CE，

∴CM＝CE，

∴∠CME＝∠CEM，

∵∠DMC＝∠ABC＞∠AED，

∴∠DMC＋∠CME＞∠AED＋∠CEM，

即∠DME＞∠DEM，

∴ DE＞DM，

∴ DE＞BC；

④當AB＜AC時，此時，AB必小于AE，即AB＜AE

延長AB到Ｆ，使AF＝AE，在AE上截取AN＝AD（如圖5）．

連結NF．在△AFN和△AED中，

∵AF＝AE，∠A＝∠，AN＝AD，∴△AFN≌△AED（SAS），

∴∠F＝∠AED，即∠F＝∠4．∵∠ABC＞∠F，∴∠ABC＞∠AED，

過D作DM∥BC，過點C作CM∥AB，連結CM，

則四邊形DBCM平行四邊形，∴∠DMC＝∠ABC，CM＝BD，DM=BC，

∵BD＝CE，∴CM＝CE，∴∠CME＝∠CEM．∵∠DMC＝∠ABC＞∠AED，

∴∠DMC＋∠CDE＞∠AED＋∠CEM，即∠DME＞∠DEM，

∴DE＞DM，

∴DE＞BC.