Question

已知：如圖，點(diǎn)B在y軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，且OA=2，∠OAB=2。

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求直線(xiàn)AB的解析式；
（3）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2,0），在直線(xiàn)AB上是否存在一點(diǎn)P，使ΔAPC與ΔAOB相似，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

（1）B(0,-4)（2）直線(xiàn)AB的解析式為y=2x-4（3）存在點(diǎn)P₁(-2,-8)， P₂(,-)，使ΔAPC與ΔAOB相似。

試題分析：解：（1）在Rt△ABC中，
∠OAB=
∵OA=2，∠OAB=2
∴OB=4
∵點(diǎn)B在y軸的負(fù)半軸上
∴B(0,-4)
(2) ∵OA=2     ∴A(2,0)
設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=kx+b(k≠0)
則∴
∴直線(xiàn)AB的解析式為y=2x-4
（3）過(guò)C作P₁C∥OB交AB于P₁

這時(shí)ΔAPC與ΔAOB相似
當(dāng)x=-2時(shí)，y=-8
∴P₁(-2,-8)
過(guò)C作P₂CAB交AB于P₂,過(guò)P₂作P₁DAC于D
由ΔAOB∽ΔACP₂,求出AP₂=
由ΔAOB∽ΔADP₂,求出AD=∴OD=,
當(dāng)x=時(shí)，y=-
∴P₁(,-)
存在點(diǎn)P₁(-2,-8)， P₂(,-)，使ΔAPC與ΔAOB相似
點(diǎn)評(píng)：本題難度較大。主要考查學(xué)生對(duì)坐標(biāo)軸，解析式，三角函數(shù)值，證相似三角形等知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合運(yùn)用。一次函數(shù)直線(xiàn)解析式一般式為。求直線(xiàn)解析式時(shí)需要具備2個(gè)已知點(diǎn)坐標(biāo)，為解題關(guān)鍵。題（3）中求證點(diǎn)P是否存在使兩三角形相似。通過(guò)證相似三角形的判定定理我們可知必然需要得到兩三角形對(duì)應(yīng)角相等或者對(duì)應(yīng)邊比值相等的條件才能證相似。那么假設(shè)存在該點(diǎn)P使形成的三角形與已知的直角三角形相似，通過(guò)做輔助垂線(xiàn)，構(gòu)成兩組對(duì)應(yīng)角相等是解題關(guān)鍵，然后得到兩個(gè)P點(diǎn)，并通過(guò)點(diǎn)P在直線(xiàn)AB上，用直線(xiàn)AB解析式求出點(diǎn)P坐標(biāo)。