Question

【題目】如圖，拋物線（a≠0）經過A（-1，0），B（2，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）點P在拋物線的對稱軸上，當△ACP的周長最小時，求出點P的坐標；

（3） 點N在拋物線上，點M在拋物線的對稱軸上，是否存在以點N為直角頂點的Rt△DNM與Rt△BOC相似，若存在，請求出所有符合條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），D（，）；（2）P（，）；（3）存在．N（，）或（，）或（，）或（，）．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數法求出拋物線解析式；

（2）確定出當△ACP的周長最小時，點P就是BC和對稱軸的交點，利用兩點間的距離公式計算即可；

（3）作出輔助線，利用tan∠MDN=2或，建立關于點N的橫坐標的方程，求出即可．

試題解析：（1）由于拋物線 （a≠0）經過A（-1，0），B（2，0）兩點，因此把A、B兩點的坐標代入 （a≠0），可得：；解方程組可得：，故拋物線的解析式為：，∵=，所以D的坐標為（，）．

（2）如圖1，設P（，k），∵，∴C（0，－1），∵A（-1，0），B（2，0），∴A、B兩點關于對稱軸對稱，連接CB交對稱軸于點P，則△ACP的周長最小．設直線BC為y=kx+b，則：，解得：，∴直線BC為：．當x=時，=，∴P（，）；

（3）存在．如圖2，過點作NF⊥DM，∵B（2，0），C（0，﹣1），∴OB=2，OC=1，∴tan∠OBC=，tan∠OCB==2，設點N（m，），∴FN=|m﹣|，FD=||=||，∵Rt△DNM與Rt△BOC相似，∴∠MDN=∠OBC，或∠MDN=∠OCB；

①當∠MDN=∠OBC時，∴tan∠MDN==，∴，∴m=（舍）或m=或m=，∴N（，）或（，）；

②當∠MDN=∠OCB時，∴tan∠MDN==2，∴，∴m=（舍）或m=或m=，∴N（，）或（，）；

∴符合條件的點N的坐標（，）或（，）或（，）或（，）．