Question

【題目】如圖，△OAB的一邊OB在x軸的正半軸上，點A的坐標為（6，8），OA=OB，點P在線段OB上，點Q在y軸的正半軸上，OP=2OQ，過點Q作x軸的平行線分別交OA，AB于點E，F．

（1）求直線AB的解析式；
（2）若四邊形POEF是平行四邊形，求點P的坐標；
（3）是否存在點P，使△PEF為直角三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（6，8），∴OA= =10，

∴OB=OA=10，即B（10，0），

設直線AB解析式為y=kx+b，

把A與B坐標代入得： ，

解得：k=﹣2，b=20．

則直線AB解析式為y=﹣2x+20

（2）

解：由A（6，8），得到直線OA解析式為y= x，

設OQ=t，則有OP=2OQ=2t，

把y=t代入y= x得：x= t；代入y=﹣2x+20得：x=10﹣ t，

∴E（ t，t），F（10﹣ t，t），

∴EF=10﹣ t﹣ t=10﹣ t，

若四邊形POEF為平行四邊形，則有EF=OP，即10﹣ t=2t，

解得：t=

（3）

解：分三種情況考慮：

若∠PEF=90°，則有 t=2t，無解，不可能；

若∠PFE=90°，則有10﹣ =2t，解得：t=4，此時OP=8，即P（8，0）；

若∠EPF=90°，過E、F分別作x軸垂線，垂足分別為G、H，

∴Rt△EGP∽Rt△PHF，

∴ = ，即 = ，

解得：t= ，此時P= ，即P（ ，0）．

綜上，P的坐標為（8，0）或（ ，0）

【解析】（1）由A坐標確定出OA的長，即為OB的長，確定出B坐標，利用待定系數法求出直線AB解析式即可；（2）由A坐標確定出直線OA解析式，設OQ=t，則有OP=2t，表示出E與F坐標，進而表示出EF長，由四邊形POEF為平行四邊形，得到EF=OP，求出t的值，即可確定出P坐標；（3）分三種情況考慮：若∠PEF=90°；若∠PFE=90°；若∠EPF=90°，過E、F分別作x軸垂線，垂足分別為G、H，分別求出t的值，確定出滿足題意P坐標即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解確定一次函數的表達式(確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法)，還要掌握平行四邊形的性質(平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分)的相關知識才是答題的關鍵．