Question

17、已知，如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點D，BE平分∠ABC，交AD于點M，AN平分∠DAC，交BC于點N．
求證：四邊形AMNE是菱形．

Answer 1

分析：由已知∠BAC=90°，AD⊥BC得到∠BAD=∠C，利用三角形的外角性質推出∠BAN=∠BNA，即BE⊥AN，OA=ON，同理OM=OE，即可推出答案．

解答：證明：設AN交ME于O，
∵AD⊥BC，
∴∠BDA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠C=90°，∠ABC+∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠C，
∵AN平分∠DAC，
∴∠CAN=∠DAN，
∵∠BAN=∠BAD+∠DAN，∠BNA=∠C+∠CAN，
∴∠BAN=∠BNA，
∵BE平分∠ABC，
∴BE⊥AN，OA=ON，
同理：OM=OE，
∴四邊形AMNE是平行四邊形，
?AMNE是菱形．

點評：本題主要考查了平行四邊形的性質，菱形的判定，三角形的外角性質，等腰三角形的性質等知識點，解此題的關鍵是證出△ABN是等腰三角形，利用三線合一證出OA=ON．