Question

已知：如圖，△ABC中，AD⊥BC，BD=DE，點E在AC的垂直平分線上．
（1）請問：AB、BD、DC有何數量關系？并說明理由．
（2）如果∠B=60°，請問BD和DC有何數量關系？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由AD⊥BC，BD=DE，點E在AC的垂直平分線上，根據線段垂直平分線的性質，可得AE=EC，AB=AE，繼而證得AB+BD=AE+DE=DC．
（2）易得△ABE是等邊三角形，則可得△ABC是直角三角形，且∠BAD=∠C=30°，然后由含30°角的直角三角形的性質，證得結論．

解答：解：（1）AB+BD=DC．
證明：∵AD⊥BC，BD=DE，
∴AB=AE，BD=DE，
∵點E在AC的垂直平分線上，
∴AE=CE，
∴AB+BD=AE+DE=DC．

（2）DC=3BD．
證明：∵AB=AE，∠B=60°，
∴△ABE是等邊三角形，
∴∠AEB=∠B=∠BAE=60°，
∵AE=EC，
∴∠C=∠CAE=

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∠AEB=30°，
∴∠BAC=90°，∠BAD=30°，
在Rt△ABC中，BC=2AB，
在Rt△AABD中，AB=2BD，
∴BC=4BD，
∴DC=3BD．

點評：此題考查了線段垂直平分線的性質、含30°角的直角三角形的性質以及等邊三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握轉化思想與數形結合思想的應用．