Question

如圖1，矩形ABCD中，AB=21，AD=12，E是CD邊上的一點，CE=5，M是BC邊上的中點，動點P從點A出發，沿AB邊以每秒1個單位長度的速度向終點B運動，連結PM.設動點P的運動時間是t秒.

（1）求線段AE的長；
（2）當△ADE與△PBM相似時，求t的值；
（3）如圖2，連接EP，過點P作PH⊥AE于H．①當EP平分四邊形PMEH的面積時，求t的值；②以PE為對稱軸作線段BC的軸對稱圖形B′C′，當線段B′C′與線段AE有公共點時，寫出t的取值范圍（直接寫出答案）．

Answer 1

（1）AE=20；（2）t=13或t=；（3）①t=②≤t≤20．

試題分析：(1)在直角三角形ADE中，已知AD=12,DE=16,根據勾股定理可求出AE的值；（2）分兩種情況討論：一、當∠DAE=∠PMB時，根據相似三角形的性質：相似三角形的對應邊的比相等.即可求出t的值；二、當∠DAE=∠MPB時，由相似三角形的性質即可求出t的值.(3)①根據題意得出S_△EHP=S_△EMP，求出t的兩個值，再根據t的取值范圍即可求出t的值；②根據PE為對稱軸作線段BC的軸對稱圖形B′C′，當點B′在線段AE上時，如圖3所示，由勾股定理求得EB′=13,AB′=7,根據題意可證得△AB′N與△ADE相似，根據相似三角形對應邊的比相等，可求出AN=5.6,NB′=4.2,則PN=t-5.6,PB′=21-t,再根據勾股定理可求出t的值為.當點C′在線段AE上時，如圖4，則AC′=20-5=15,可證△AC′F與△ADE相似，可分別求出AF,C′F的值，在△PFB′中，利用勾股定理可求PF的值，從而求出AP的值，即求出t的值，所以有≤t≤20.
 
試題解析：（1）∵ABCD是矩形，∴∠D=90°，∴AE²=AD²+DE²，∵AD=12，DE=16，∴AE=20；
（2）∵∠D=∠B=90°，∴△ADE與△PBM相似時，有兩種可能；
當∠DAE=∠PMB時，有=，即=，解得：t=13；
當∠DAE=∠MPB時，有=，即=，解得t=；
（3）①由題意得：S_△EHP=S_△EMP，
∴××（20﹣t）=×12×（5+21﹣t）﹣×6×（21﹣t）﹣×6×5，
解得：t=，
∵0＜t＜21，
∴t=；
②根據題意得：≤t≤20．