Question

【題目】如圖，在中，，，將一塊等腰直角三角形的直角頂點放在斜邊的中點處，將三角板繞點旋轉，三角板的兩直角邊分別交射線、于、兩點．如圖①、②、③是旋轉三角板得到的圖形中的3種情況．

（1）觀察圖①，當三角板繞點旋轉到時，我們發現：__________．（選填“”、“”或“”）

（2）當三角板繞點旋轉到圖②所示位置時，判斷（1）題中與之間的大小關系還存在嗎？請你結合圖②說明理由．

（3）三角板繞點旋轉，是否能成為等腰三角形？若能，指出所有情況（那寫出為等腰三角形時的長）；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）存在，PD＝PE，理由見解析；（3）能，當BE=0或6或6+或3時，為等腰三角形．

【解析】

（1）根據題意證明△ADP≌△BEP（AAS）即可解答；

（2）如圖，連接PC，根據等腰三角形的性質得到∠ACP＝∠B＝∠BCP＝45°，BP＝CP，再根據等量代換得到∠DPC＝∠PBE，證明△DPC≌△PEB（ASA）即可；

（3）若△PCE是等腰三角形，需分三種情況進行討論，①當PC＝PE＝時；②當PC＝CE＝時，E在線段BC上或點E在線段BC的延長線上；③當PE＝EC，根據等腰三角形的性質即可逐一解答．

解（1）當三角板繞點旋轉到時，

∵∠ACB=DPE=90°，

∴∠PEB=90°，

∵AC=BC=6，

∴∠A=∠B=45°，

∵點P是AB的中點，

∴AP=BP，

∴△ADP≌△BEP（AAS）

∴PD=PE，

故答案為：=．

（2）存在，PD＝PE

如圖，連接PC，

∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB中點
∴CP⊥AB，∠ACP＝∠BCP＝∠ACB＝45°，
∴∠ACP＝∠B＝∠BCP＝45°
∴BP＝CP
∵∠DPC＋∠CPE＝90°，∠BPE＋∠CPE＝90°，
∴∠DPC＝∠PBE，

又∵BP＝CP，∠ACP＝∠B，
∴△DPC≌△PEB（ASA）
∴PD＝PE．

（3）能，

∵AC＝BC＝6，∠C＝90°
∴AB＝
∴AP＝BP＝CP＝，
若△PCE是等腰三角形
①當PC＝PE＝時，即B，E重合，BE＝0
②當PC＝CE＝時，E在線段BC上，則BE＝6，

E在線段BC的延長線上，則BE＝6＋，
③當PE＝EC，且∠PCB＝45°，
∴∠PEC＝90°，

∵PC=PB，

∴CE=BE=3，
綜上所述，當BE=0或6或6+或3時，為等腰三角形．