Question

【題目】在如圖14所示的平面直角坐標系中，點C在y軸的正半軸上，四邊形OABC為平行四邊形，OA＝2，∠AOC＝60°，以OA為直徑的⊙P經過點C，交BC于點D，DE⊥AB，交AB于E。

（1）求點A和B的坐標；

（2）求證：DE是⊙P的切線；

(3) 小明在解答本題時，發現連結DA并延長，交x軸于點N，則△AON是等腰三角形．由此，他斷定：“x軸上一定存在除點N以外的點Q，使△AOQ也是等腰三角形，且點Q一定在⊙P外”．你同意他的看法嗎？請充分說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A點坐標為（，1），B點坐標為（，2）（2）證明見解析；（3）不同意。理由見解析.

【解析】試題分析：（1）首先得出，∠ACO=90°，進而利用OA=2，∠AOC=60°，得出OC=1，AC= ，即可得出A點坐標，進而利用平行四邊形的性質得出B點坐標；
（2）首先得出四邊形OADC為等腰梯形，進而得出△PAD為等邊三角形，從而得出∠BAD=∠PDA，以及PD∥AB，即可得出答案；
（3）分別根據①當OA=OQ時，②當OQ=AQ時求出Q點坐標即可；

試題解析：

（1）解：連結AC，

∵　OA為⊙P的直徑，

∴　∠ACO＝90°，

又∵　OA＝2，∠AOC＝60°，

∴　OC＝1，AC＝，

∴　A點坐標為（，1），

∵　OABC為平行四邊形，

∴　AB＝OC，

∴　B點坐標為（，2）。

（2）證明：連結PD、AD，如圖所示：

∵四邊形OABC是平行四邊形，

∴CD∥OA，

∴弧OC＝弧AD，

∴OC＝AD，

∴四邊形OADC為等腰梯形，

∴∠DAO＝∠AOC＝60°，

∵PA＝PD，

∴△PAD為等邊三角形，

∴∠PDA＝60°，

∵∠BAO＝180°－60°＝120°，∠DAO＝60°，

∴∠BAD＝60°，　

∴∠BAD＝∠PDA，

∴PD∥AB，

∵DE⊥AB，

∴DE⊥PD，　

∴DE是⊙P的切線。

（3）解：不同意。理由如下:：

①當OA=OQ時，

以點O為圓心，OA為半徑畫弧交x軸于Q1和Q3兩點，

得點Q1（－2,0），Q3（2，0）

②當OQ=AQ時，作OA的中垂線，交x軸于點Q2，

OQ2＝＜，點Q2（，0）。

因此，在x軸上，除了N點外，既存在⊙P內的點Q2，又存在⊙P外的點Q1、Q3，它們分別使△AOQ為等腰三角形。