Question

【題目】已知銳角△ABC中，邊BC長為12，高AD長為8．

（1）如圖，矩形EFGH的邊GH在BC邊上，其余兩個頂點E、F分別在AB、AC邊上，EF交AD于點K．

①求的值；

②設EH=x，矩形EFGH的面積為S，求S與x的函數關系式，并求S的最大值；

（2）若AB=AC，正方形PQMN的兩個頂點在△ABC一邊上，另兩個頂點分別在△ABC的另兩邊上，直接寫出正方形PQMN的邊長．

Answer 1

【答案】（1）①；②， S的最大值是24；（2）或．

【解析】

試題分析：（1）①由EF∥BC，可得，所以，據此求出的值即可．

②由EH=x，求出AK=8﹣x，再由=，求出EF的值；然后根據矩形的面積公式，求出S與x的函數關系式，利用配方法，求出S的最大值是多少即可．

（2）根據題意，設正方形的邊長為a，分兩種情況：①當正方形PQMN的兩個頂點在BC邊上時；②當正方形PQMN的兩個頂點在AB或AC邊上時；分類討論，求出正方形PQMN的邊長各是多少即可．

試題解析：（1）①∵EF∥BC，∴，∴==，即的值是；

②∵EH=x，∴KD=EH=x，AK=8﹣x，∵=，∴EF=，∴S=EHEF=，即，∴當x=4時，S的最大值是24；

（2）設正方形的邊長為a，①當正方形PQMN的兩個頂點在BC邊上時，，解得a=；

②當正方形PQMN的兩個頂點在AB或AC邊上時，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD=12÷2=6，∴AB=AC===10，∴AB或AC邊上的高等于：ADBC÷AB=8×12÷10=，∴，解得a=；

綜上，可得正方形PQMN的邊長是或．