Question

【題目】如圖，在Rt中，∠ 90°，，平分．

（1）尺規作圖：作線段的垂直平分線;（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）記直線與，的交點分別是點，．當時，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）4

【解析】

（1）根據線段垂直平分線的作法作圖即可；

（2）連接EC．在Rt△ABC中，由30°角所對直角邊等于斜邊的一半，得到AB=8．再由垂直平分線的性質得到AE=4，即可證明△AEC是等邊三角形，從而得到CE的長，再證明∠EFC=∠ECF，根據等角對等邊即可得出結論．

（1）如圖所示，直線是所求作的線段AB的垂直平分線．

（2）連接EC．

∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=4，

∴AC=AB，∠A=60°，

∴AB=8．

∵EF是AB的垂直平分線，

∴AE=AB=4，∠AEF=90°，

∴AE=AC，

∴△AEC是等邊三形，

∴∠AEC=∠ACE=60°，EC=AC=4，

∴∠FEC=∠AEF+∠AEC=150°．

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACF=∠ACB=45°，

∴∠ECF=∠ECA-∠FCA=15°，

∴∠EFC=180°-∠FEC-∠ECF=15°=∠ECF，

∴EF=EC=4．