Question

【題目】如圖，在平面內直角坐標系中，直線y=2x+4分別交x軸，y軸于點A，C，點D（m，2）在直線AC上，點B在x軸正半軸上，且OB=3OC，點E是y軸上任意一點，記點E為（0，n）．

（1）求點D的坐標及直線BC的解析式；
（2）連結DE，將線段DE繞點D按順時針旋轉90°得線段DG，作正方形DEFG，是否存在n的值，使正方形的頂點F落在△ABC的邊上？若存在，求出所有滿足條件的n的值；若不存在，說明理由．
（3）作點E關于AC的對稱點E′，當n為何值時，AE′分別與AC，BC，AB垂直？

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意A（﹣2，0），C（0，4），

把D（m，2）代入y=2x+4解得m=﹣1，

∴D（﹣1，2），

∵OB=3OC，OC=4，

∴OB=12，

∴B（12，0），設直線BC的解析式為y=kx+b則有 ，

解得 ，

∴直線BC的解析式為y=﹣ x+4

（2）

解：①如圖1中，當點F在BC上時，作FH⊥y軸于H，作DM⊥y軸于M．

由△EDM≌△FEH，

∴DM=EH=1，EM=FH=n﹣2，

∴F（n﹣2，n﹣1），把F點坐標代入y=﹣ x+4，

得到n﹣1=﹣ （n﹣2）+4，

∴n= ．

②如圖2中，當點F在AB上時，作DH⊥OC于H．

由△DHE≌△EOF，可得DH=EO=1，

∴n=1，

綜上所述，滿足條件的n的值為 或1

（3）

解：①如圖3中，當AE′⊥AC時，

∵直線AC的解析式為y=2x+4，

∴直線AE′的解析式為y=﹣ x﹣1，

∴E（0，﹣1），

∴n=﹣1．

②如圖4中，當AE′⊥BC時，延長AE′交BC于G，

易知，CE=CE′=4﹣n，AE= ，

由△BOC∽△BGA，

∴ = ，

∴ = ，

∴BG= ，

∴CG= ，

由△CGE′∽△AOE，

∴ = ，

∴ = ，

解得n= 或6（舍棄）．

③如圖5中，當AE′⊥AB時，

易證AE=CE，設AE=CE=x，

在Rt△AEO中，∵AE2=OE2+OA2，

∴x2=（4﹣x）2+22，

∴x= ，

∴AE=CE= ，

∴OE= ，

∴n= ，

綜上所述，當AE′分別與AC，BC，AB垂直時，n的值分別為﹣1或 或

【解析】（1）利用待定系數法即可解決問題；（2）①如圖1中，當點F在BC上時，作FH⊥y軸于H，作DM⊥y軸于M．由△EDM≌△FEH，推出DM=EH=1，EM=FH=n﹣2，推出F（n﹣2，n﹣1），把F點坐標代入y=﹣ x+4，即可解決問題；②如圖2中，當點F在AB上時，作DH⊥OC于H．由△DHE≌△EOF，可得DH=EO=1，即可解決問題；（3）分三種情形①如圖3中，當AE′⊥AC時，②如圖4中，當AE′⊥BC時，延長AE′交BC于G，③如圖5中，當AE′⊥AB時，分別求解即可；