Question

【題目】如圖1，已知二次函數y=ax2+bx+c（a、b、c為常數，a≠0）的圖象過點O（0，0）和點A（4，0），函數圖象最低點M的縱坐標為﹣ ，直線l的解析式為y=x．

（1）求二次函數的解析式；
（2）直線l沿x軸向右平移，得直線l′，l′與線段OA相交于點B，與x軸下方的拋物線相交于點C，過點C作CE⊥x軸于點E，把△BCE沿直線l′折疊，當點E恰好落在拋物線上點E′時（圖2），求直線l′的解析式；
（3）在（2）的條件下，l′與y軸交于點N，把△BON繞點O逆時針旋轉135°得到△B′ON′，P為l′上的動點，當△PB′N′為等腰三角形時，求符合條件的點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意拋物線的頂點坐標為（2，﹣ ），設拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2﹣ ，

把（0，0）代入得到a= ，

∴拋物線的解析式為y= （x﹣2）2﹣ ，即y= x2﹣ x

（2）

解：如圖1中，設E（m，0），則C（m， m2﹣ m），B（﹣ m2+ m，0），

∵E′在拋物線上，

∴E、B關于對稱軸對稱，

∴ =2，

解得m=1或6（舍棄），

∴B（3，0），C（1，﹣2），

∴直線l′的解析式為y=x﹣3

（3）

解：如圖2中，

①當P1與N重合時，△P1B′N′是等腰三角形，此時P1（0，﹣3）．

②當N′=N′B′時，設P（m，m﹣3），

則有（m﹣ ）2+（m﹣3﹣ ）2=（3 ）2，

解得m= 或 ，

∴P2（ ， ），P3（ ， ）．

綜上所述，滿足條件的點P坐標為（0，﹣3）或（ ， ）或（ ， ）

【解析】（1）由題意拋物線的頂點坐標為（2，﹣ ），設拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2﹣ ，把（0，0）代入得到a= ，即可解決問題；（2）如圖1中，設E（m，0），則C（m， m2﹣ m），B（﹣ m2+ m，0），由E、B關于對稱軸對稱，可得 =2，由此即可解決問題；（3）分兩種情形求解即可①當P1與N重合時，△P1B′N′是等腰三角形，此時P1（0，﹣3）．②當N′=N′B′時，設P（m，m﹣3），列出方程解方程即可；
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．