Question

【題目】如圖，已知△ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6）．

（1）求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式；
（2）設(shè)直線BC交y軸于點(diǎn)E，連接AE，求證：AE=CE；
（3）設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)D，連接AD交BC于點(diǎn)F，試問以A、B、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似嗎？
（4）若點(diǎn)P為直線AE上一動點(diǎn)，當(dāng)CP+DP取最小值時，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)函數(shù)解析式為：y=ax2+bx+c，

由函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6），

可得 ，

解得： ，

故經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式為：y=﹣x2﹣3x+4

（2）

解：設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+b，

由題意得： ，

解得： ，

即直線BC的解析式為y=﹣2x+2．

故可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，2），

從而可得：AE= =2 ，CE= =2 ，

故可得出AE=CE

（3）

解：方法一：相似．理由如下：

設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，

則 ，

解得： ，

即直線AD的解析式為y=x+4．

聯(lián)立直線AD與直線BC的函數(shù)解析式可得： ，

解得： ，

即點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣ ， ），

則BF= = ，

又∵AB=5，BC= =3 ，

∴ = ， = ，

∴ = ，

又∵∠ABF=∠CBA，

∴△ABF∽△CBA．

故以A、B、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似

方法二：

若△ABF∽△ABC，則 ，即AB2=BF×BC，

∵A（﹣4，0），D（0，4），

∴l(xiāng)AD：y=x+4，lBC：y=﹣2x+2，

∴l(xiāng)AD與lBC的交點(diǎn)F（﹣ ， ），

∴AB=5，BF= ，BC=3 ，

∴AB2=25，BF×BC= ×3 =25，

∴AB2=BF×BC，

又∵∠ABC=∠ABC，

∴△ABF∽△ABC

（4）

解：由（3）知：KAE= ，KCE=﹣2，

∴KAE×KCE=﹣1，

∴AE⊥CE，

過C點(diǎn)作直線AE的對稱點(diǎn)C‘，點(diǎn)E為CC′的中點(diǎn)，

∴ ， ，

∵C（﹣2，6），E（0，2），

∴C′X=2，C′Y=﹣2，

∵D（0，4），∴l(xiāng)C′D：y=﹣3x+4，

∵lAE：y= x+2，

∴l(xiāng)C′D與lAE的交點(diǎn)P（ ， ）

【解析】（1）利用待定系數(shù)發(fā)求解即可得出拋物線的解析式；（2）求出直線BC的函數(shù)解析式，從而得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后分別求出AE及CE的長度即可證明出結(jié)論；（3）求出AD的函數(shù)解析式，然后結(jié)合直線BC的解析式可得出點(diǎn)F的坐標(biāo)，由題意得∠ABF=∠CBA，然后判斷出 是否等于 即可作出判斷．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．