Question

【題目】如圖，在數軸上A點表示數a，B點表示數b，AB表示A點和B點之間的距離，且a、b滿足．

（1）求A，B兩點之間的距離；

（2）若在數軸上存在一點C，且AC=2BC，求C點表示的數；

（3）若在原點O處放一擋板，一小球甲從點A處以1個單位/秒的速度向左運動；同時另一小球乙從點B處以2個單位/秒的速度也向左運動，在碰到擋板后（忽略球的大小，可看作一點）以原來的速度向相反的方向運動，設運動的時間為t（秒）．

①分別表示甲、乙兩小球到原點的距離（用t表示）；

②求甲、乙兩小球到原點的距離相等時經歷的時間．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）c=或c=14；（3）t=秒或t=8秒．

【解析】試題分析：（1）先根據非負數的性質求出a、b的值，再根據兩點間的距離公式即可求得A、B兩點之間的距離；（2）分C點在線段AB上和線段AB的延長線上兩種情況討論即可求解；（3）①甲球到原點的距離=甲球運動的路程+OA的長，乙球到原點的距離分兩種情況：（Ⅰ）當0＜t≤3時，乙球從點B處開始向左運動，一直到原點O，此時OB的長度-乙球運動的路程即為乙球到原點的距離；（Ⅱ）當t＞3時，乙球從原點O處開始向右運動，此時乙球運動的路程-OB的長度即為乙球到原點的距離；②分兩種情況：（Ⅰ）0＜t≤3，（Ⅱ）t＞3，根據甲、乙兩小球到原點的距離相等列出關于t的方程，解方程即可．

試題解析：

（1）∵，∴a+2=0，b+3a=0，∴a=2，b=6；

∴AB的距離=|ba|=8；

（2）設數軸上點C表示的數為c．

∵AC=2BC，∴|ca|=2|cb|，即|c+2|=2|c6|．

∵AC=2BC＞BC，∴點C不可能在BA的延長線上，則C點可能在線段AB上和線段AB的延長線上．

①當C點在線段AB上時，則有2≤c≤6，得c+2=2（6c），解得c=；

②當C點在線段AB的延長線上時，則有c＞6，得c+2=2（c6），解得c=14．

故當AC=2BC時，c=或c=14；

（3）①∵甲球運動的路程為：1t=t，OA=2，∴甲球與原點的距離為：t+2；

乙球到原點的距離分兩種情況：

（Ⅰ）當0＜t≤3時，乙球從點B處開始向左運動，一直到原點O，∵OB=6，乙球運動的路程為：2t=2t，∴乙球到原點的距離為：62t；

（Ⅱ）當t＞3時，乙球從原點O處開始一直向右運動，此時乙球到原點的距離為：2t6；

②當0＜t≤3時，得t+2=62t，解得t=；

當t＞3時，得t+2=2t6，解得t=8．

故當t=秒或t=8秒時，甲乙兩小球到原點的距離相等．