Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，P是對角線BD上的一點，點E在AD的延長線上，且PA=PE，PE交CD于F．
（1）證明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度數；
（3）如圖2，把正方形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，當∠ABC=120°時，連接CE，試探究線段AP與線段CE的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明：在正方形ABCD中，AB=BC，
∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，
∵PA=PE，
∴PC=PE；
（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠E，
∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD（對頂角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF=∠EDF=90°；
（3）在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，
∵PA=PE，
∴PC=PE，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PC，
∴∠DAP=∠AEP，
∴∠DCP=∠AEP
∵∠CFP=∠EFD（對頂角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠AEP，
即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，
∴△EPC是等邊三角形，
∴PC=CE，
∴AP=CE．

【解析】（1）先證出△ABP≌△CBP，得PA=PC，由于PA=PE，得PC=PE；
（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP=∠BCP，進而得∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到結論；
（3）借助（1）和（2）的證明方法容易證明結論．