Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（20，0），以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C，點(diǎn)B是該半圓周上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)OB、AB，并延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D，使DB=AB，過點(diǎn)D作x軸垂線，分別交x軸、直線OB于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E為垂足，連結(jié)CF．

（1）當(dāng)∠AOB=30°時(shí)，求弧OB的長(zhǎng)度；

（2）當(dāng)DE=16時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)；

（3）在點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，若存在，請(qǐng)求出此

時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）;（2）6或24;（3）E點(diǎn)為

【解析】試題分析: （1）連接BC，由已知得∠ACB=2∠AOB=60°，AC=AO=10，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解；

（2）連接OD，由垂直平分線的性質(zhì)得OD=OA=20，又DE=16，在Rt△ODE中，由勾股定理求OE，依題意證明△OEF∽△DEA，利用相似比求EF；

（3）存在．當(dāng)以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似時(shí)，分為①當(dāng)交點(diǎn)E在O，C之間時(shí)，由以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，②當(dāng)交點(diǎn)E在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，③當(dāng)交點(diǎn)E在點(diǎn)O的左側(cè)時(shí)，要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，三種情況，分別求E點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析: (1)連接BC,

∵A(20,0)，∴OA=20，CA=10，

∵∠AOB=30°，

∴∠ACB=2∠AOB=60°，

∴弧AB的長(zhǎng)==；

(2)①若D在第一象限，

連接OD，

∵OA是⊙C直徑,

∴∠OBA=90°，

又∵AB=BD，

∴OB是AD的垂直平分線，

∴OD=OA=20，

在Rt△ODE中，

OE==，

∴AE=AOOE=2012=8，

由∠AOB=∠ADE=90°∠OAB，∠OEF=∠DEA，

得△OEF∽△DEA，

∴,即，

∴EF=6；

②若D在第二象限，

連接OD,

∵OA是⊙C直徑，

∴∠OBA=90°，

又∵AB=BD，

∴OB是AD的垂直平分線，

∴OD=OA=10，

在Rt△ODE中，

OE==，

∴AE=AO+OE=20+12=32，

由∠AOB=∠ADE=90°∠OAB，∠OEF=∠DEA，

得△OEF∽△DEA

∴,即，

∴EF=24；

∴EF=6或24；

(3)設(shè)OE=x，

①當(dāng)交點(diǎn)E在O，C之間時(shí)，由以點(diǎn)E. C.F為頂點(diǎn)的三角

形與△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，

當(dāng)∠ECF=∠BOA時(shí)，此時(shí)△OCF為等腰三角形，點(diǎn)E為OC

中點(diǎn),即OE=5，

∴E (5,0)；

當(dāng)∠ECF=∠OAB時(shí)，有CE=10x，AE=20x，

∴CF∥AB,有CF=AB，

∵△ECF∽△EAD，

∴,即,解得：x=，

∴E (,0)；

②當(dāng)交點(diǎn)E在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，

∵∠ECF>∠BOA，

∴要使△ECF與△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO,

連接BE，

∵BE為Rt△ADE斜邊上的中線，

∴BE=AB=BD，

∴∠BEA=∠BAO，

∴∠BEA=∠ECF，

∴CF∥BE，

∴，

∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=90°，

∴△CEF∽△AED，

∴CFAD=CEAE，

而AD=2BE，

∴，

即,解得x =,x =<0(舍去)，

∴E (,0)；

③當(dāng)交點(diǎn)E在點(diǎn)O的左側(cè)時(shí)，

∵∠BOA=∠EOF>∠ECF.

∴要使△ECF與△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO

連接BE,得BE=AD=AB，∠BEA=∠BAO

∴∠ECF=∠BEA，

∴CF∥BE，

∴，

又∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=90，

∴△CEF∽△AED，

∴，

而AD=2BE，

∴，

∴，

解得x=,x= (舍去)，

∵點(diǎn)E在x軸負(fù)半軸上，

∴ (,0)，

綜上所述：存在以點(diǎn)E. C.F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，

此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)為：E點(diǎn)為.

點(diǎn)睛: 解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，注意對(duì)應(yīng)字母在對(duì)應(yīng)位置上.