Question

【題目】已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AB=6，點C，D在⊙O上，且CD平分∠ACB，∠CAB=60°．

（1）求BC及陰影部分的面積；
（2）求CD的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°．

在Rt△ACB中，

∵∠CAB=60°，AB=6，

∴BC=ABsin∠CAB=6× =3 ，∠CBA=30°，

如圖1，連接OC，過點C作CE⊥x軸于點E，

在Rt△BCE中，CE=BCsin∠CBA=3 × ，

陰影部分的面積=S扇形OBC﹣S△OBC= ×π×9﹣ ×3=3π﹣ ；

（2）解：連接AD，

∵∠ABC=30°，

∴∠ADC=∠ABC=30°，

在△CAD中，AC=3，∠ACD=45°，

過點A作AF⊥CD于點F，在Rt△AFC中，AF=CF= ，

在Rt△AFD中，

∵DF= AF= ，

∴CD=CF+FD= + ．

【解析】（1）求陰影弓形的面積用扇形的面積減去三角形的面積。
（2）根據同弦所對的圓周角相等，構建有兩個特殊角的三角形。CD平分∠ACB，所以有∠ACD=45°，然后作AF⊥CD，知AC邊，求CD。
【考點精析】本題主要考查了圓周角定理和互余兩角的三角函數關系的相關知識點，需要掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；互余關系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)，tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)才能正確解答此題．