Question

【題目】成都地鐵規劃到2020年將通車13條線路，近幾年正是成都地鐵加緊建設和密集開通的幾年，市場對建材的需求量有所提高，根據市場調查分析可預測：投資水泥生產銷售后所獲得的利潤y1（萬元）與投資資金量x（萬元）滿足正比例關系y1=20x；投資鋼材生產銷售的后所獲得的利潤y2（萬元）與投資資金量x（萬元）滿足函數關系的圖象如圖所示（其中OA是拋物線的一部分，A為拋物線的頂點，AB∥x軸）．

（1）直接寫出當0＜x＜30及x＞30時，y2與x之間的函數關系式；
（2）某建材經銷公司計劃投資100萬元用于生產銷售水泥和鋼材兩種材料，若設投資鋼材部分的資金量為t（萬元），生長銷售完這兩種材料后獲得的總利潤為W（萬元）．
①求W與t之間的函數關系式；
②若要求投資鋼材部分的資金量不得少于45萬元，那么當投資鋼材部分的資金量為多少萬元時，獲得的總利潤最大？最大總利潤是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：當0＜x≤30時，根據題意設y2=a（x﹣30）2+900，

將原點（0，0）代入，得：900a+900=0，解得：a=﹣1，

∴y2=﹣（x﹣30）2+900=﹣x2+60x，

當x＞30時，y2=900

（2）解：①設投資鋼材部分的資金量為t萬元，則投資生產水泥的資金量為（100﹣t）萬元，

當0＜t≤30時，W=y1+y2=20（100﹣t）+（﹣t2+60t）=﹣t2+40t+2000，

當t＞30時，W=20（100﹣t）+900=﹣20t+2900；

②∵t≥45，

∴W=﹣20t+2900，W隨t的增大而減小，

∴當t=45時，W最大值=2000萬元

答：當投資鋼材部分的資金量為45萬元時，獲得的總利潤最大，最大總利潤是2000萬元．

【解析】（1）當0＜x≤30時，根據頂點A的坐標設其頂點式，將原點代入可得其解析式，當x＞30時，可得y2=900；（2）①設投資鋼材部分的資金量為t萬元，則投資生產水泥的資金量為（100﹣t）萬元，分0＜t≤30、t＞30兩種情況，根據W=y1+y2可得函數關系式；
②由t≥45可知W=﹣20t+2900，根據一次函數性質可得最值情況．