Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，E是AC的中點，OE交CD于點F．

（1）若∠BCD=36°，BC=10，求 的長；

（2）判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由；

（3）求證： .

Answer 1

【答案】（1）2π；（2）DE與⊙O相切；（3）證明見解析．

【解析】試題分析：（1）利用弧長公式計算即可；

（2）欲證明DE是切線，只要證明OD⊥DE即可；

（3）首先證明EF是△ADC的中位線，再證明△ACD∽△ABC即可解決問題；

試題解析：解：（1）連接OD．∵BC是直徑，∴BC=10，∴OB=5，∵∠BCD=36°，∴∠BOD=72°，∴= =2π．

（2）DE與⊙O相切．理由如下：

連接OD．∵AE=EC，OB=OC，∴OE∥AB，∵CD⊥AB，∴OE⊥CD，∵OD=OC，∴∠DOE=∠COE，在△EOD和△EOC中，∵OD=OC，∠DOE=∠COE，OE=OE，∴△EOD≌△EOC，∴∠EDO=∠ECO=90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線．

（3）∵OE⊥CD，∴DF=CF，∵AE=EC，∴AD=2EF，∵∠CAD=∠CAB，∠ADC=∠ACB=90°，∴△ACD∽△ABC，∴AC2=ADAB，∵AC=2CE，∴4CE2=2EFAB，∴2CE2=EFAB．