Question

【題目】如圖所示，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為（3，0），（0，1），點D是線段BC上的動點（與端點B、C不重合），過點D作直線y＝﹣x+m交折線OAB于點E．

（1）請寫出m的取值范圍 ；

（2）記△ODE的面積為S，求S與m的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）1＜m＜2.5；（2）S＝

【解析】

（1）利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點D的坐標，根據點D橫坐標的范圍即可得出m的取值范圍；
（2）分點E在線段OA上及點E在線段AB上時（與端點A、B不重合）兩種情況考慮：①當點E在線段OA上時，利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點E的坐標，由點E的橫坐標≤3可得出此時m的取值范圍，再利用三角形的面積公式可找出S關于m的函數關系式；②當點E在線段AB上時（與端點A、B不重合），此時1.5＜m＜2.5，利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點E的坐標，結合點D、B的坐標即可得出CD、AE、BD、BE的長度，再根據S=S矩形OABC-S△OAE-S△OCD-S△BDE即可找出S關于m的函數關系式．綜上即可得出結論．

解：（1）當y＝1時，有﹣x+m＝1，

∴x＝2m﹣2，

∴點D的坐標為（2m﹣2，1）．

∵點D是線段BC上的動點（與端點B、C不重合），

∴0＜2m﹣2＜3，

∴1＜m＜2.5．

故答案為：1＜m＜2.5．

（2）①當點E在線段OA上時，如圖1所示．

當y＝0時，有﹣x+m＝0，

∴x＝2m，

∴點E的坐標為（2m，0），

∴2m≤3，

∴此時1＜m≤1.5，S＝OE OC＝m；

②當點E在線段AB上時（與端點A、B不重合），此時1.5＜m＜2.5，如圖2所示．

當x＝3時，y＝﹣x+m＝m﹣1.5，

∴點E的坐標為（3，m﹣1.5）．

∵點D的坐標為（2m﹣2，1），點B的坐標為（3，1），

∴CD＝2m﹣2，BD＝5﹣2m，AE＝m﹣1.5，BE＝2.5﹣m，

S＝S矩形OABC﹣S△OAE﹣S△OCD﹣S△BDE，

＝OAOC﹣OAAE﹣OCCD﹣BDBE，

＝3×1﹣×3（m﹣1.5）﹣（2m﹣2）﹣（5﹣2m）（2.5﹣m），

＝﹣m2+2.5m．

綜上所述：S與m的函數關系式為S＝．