Question

【題目】如圖，在△ABC中，點O是AC邊上一動點，過點O作BC的平行線交∠ACB的角平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F

(1)求證：EO=FO；

(2)當點O運動到何處時，四邊形CEAF是矩形?請證明你的結論。

(3)在第(2)問的結論下，若AE=3，EC=4，AB=12，BC=13，請求出凹四邊形ABCE的面積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）當點O運動到AC的中點時，四邊形CEAF是矩形（3）24

【解析】

（1）根據平行線的性質與等腰三角形的性質即可證明；（2）當點O運動到AC的中點時，四邊形CEAF是矩形，由直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半即可證明；（3）利用凹四邊形ABCE的面積=△ABC的面積△ACE的面積即可求解.

(1)證明：∵EF∥BC，

∴∠OEC=∠BCE，

∵CE平分∠ACB，

∴∠BCE=∠OCE，

∴∠OEC=∠OCE，

∴EO=CO，

同理：FO=CO，

∴EO=FO；

(2)當點O運動到AC的中點時，四邊形CEAF是矩形；理由如下：

由(1)得：EO=FO，

又∵O是AC的中點，

∴AO=CO，

∴四邊形CEAF是平行四邊形，

∵EO=FO=CO，

∴EO=FO=AO=CO，

∴EF=AC，

∴四邊形CEAF是矩形；

(3)由(2)得：四邊形CEAF是矩形，

∴∠AEC=90，

∴AC=AE2+EC2=5，

△ACE的面積=AE×EC=×3×4=6，

∵122+52=132，

即AB2+AC2=BC2，

∴△ABC是直角三角形,∠BAC=90，

∴△ABC的面積=ABAC=×12×5=30，

∴凹四邊形ABCE的面積=△ABC的面積△ACE的面積=306=24；