Question

【題目】（1）如圖（1），已知任意三角形ABC，過點C作DE∥AB；

①求證：∠DCA=∠A； ②求證：∠A+∠B+∠ACB=180°；

（2）如圖（2），求證：∠AGF=∠AEF+∠F；

（3）如圖（3），AB∥CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分線EF于點F，∠AGF=150°，求∠F．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析（3）29.5°．

【解析】分析：（1）①根據“兩直線平行，內錯角相等”可證明；②結合①的證明，轉化為平角的意義證明三角形的內角和；

（2）根據平角的意義和三角形的內角和，等量代換即可；

（3）先根據兩直線平行，內錯角相等，同旁內角互補，求得∠AED和∠DEB的度數，再根據平角的意義和角平分線的性質求得∠DEF的度數，結合（2）的結論可求解.

詳解：證明：（1）①∵DE∥BC，∴∠DCA=∠A；

②如圖1所示，在△ABC中，∵DE∥BC，

∴∠B=∠ECA，∠DCA=∠A（內錯角相等）．

∵∠ECA+∠BCA+∠DCA=180°，

∴∠A+∠B+∠C=180°．

即三角形的內角和為180°；

（2）∵∠AGF+∠FGE=180°，

由（1）知，∠GEF+∠F+∠FGE=180°，

∴∠AGF=∠AEF+∠F；

（3）∵AB∥CD，∠CDE=119°，

∴∠DEB=119°，∠AED=61°，

∵GF交∠DEB的平分線EF于點F，

∴∠DEF=59.5°，

∴∠AEF=120.5°，

∵∠AGF=150°，

∵∠AGF=∠AEF+∠F，

∴∠F=150°﹣120.5°=29.5°．