Question

【題目】(1)如圖，已知點A、B在雙曲線（x>0）上，AC⊥x軸于C，BD⊥y軸于點D，AC與BD交于點P，P是AC的中點，點B的橫坐標為b．A與B的坐標分別為_____、______(用b與k表示)，由此可以猜想AP與CP的數量關系是______.

(2)四邊形ABCD的四個頂點分別在反比例函數y與y的圖象上，對角線BD∥y軸，且BD⊥AC于點P，P是BD的中點，點B的橫坐標為4．

①當時，判斷四邊形ABCD的形狀并說明理由.

②四邊形ABCD能否成為正方形？若能，直接寫出此時m，n之間的數量關系；若不能，試說明理由．

Answer 1

【答案】，相等；(2)①菱形，理由見解析；②m+n=32.

【解析】

（1）根據反比例函數圖象上點的坐標特征可得B點坐標，可得點P的縱坐標，由P為AC中點可得PA=PC及點A的縱坐標，代入反比例函數解析式可得A的橫坐標，即可得點A坐標；（2）①由B點橫坐標可得B點坐標及點D的橫坐標，代入y=可得D點坐標，由點P為BD中點可得點P坐標，把P點縱坐標代入y=和y=可得A、C兩點坐標，即可求出PA、PC的長，根據對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形即可得答案；②先確定B（4，），D（4，），即可求出P點坐標，進而可得A、C坐標，根據AC=BD即可得m、n之間的數量關系.

（1）∵點B在反比例函數圖象上，點B橫坐標為b，

∴y=，即B（b，），

∵AC⊥x軸，BD⊥y軸，AC、BD交于點P，

∴P點縱坐標為，

∵點P為AC中點，

∴AP=PC，點A的縱坐標為，

∵點A在圖象上，

∴=，

解得：x=，

∴A（，）.

故答案為：（，），（b，），相等.

(2)①四邊形ABCD為菱形，理由如下：

∵點B的橫坐標為4，m=4，n=20，

∴yB==1，yD==5，

∴B（4，1），D（4，5），

∵P是BD中點，

∴P(4，3)，

∴點A、C的縱坐標為3，

∴3=，3=，

解得：xA=，xC=，

∴A，

∴PA=4-=，PC=-4=，

∴PA=PC

∵PB=PD，BD⊥AC，

∴四邊形ABCD為菱形

(3)∵點B的橫坐標為4，

∴B（4，），D（4，），

∵點P為BD中點，

∴P（4，），

∴A（，），C（，），

∵ABCD是正方形，

∴AC=BD，即-=-，

∴m+n=32.