Question

【題目】已知二次函數y=（t+1）x2+2（t+2）x+ 在x=0和x=2時的函數值相等．

（1）求二次函數的解析式；
（2）若一次函數y=kx+6的圖象與二次函數的圖象都經過點A（﹣3，m），求m和k的值；
（3）把二次函數的圖象與x軸兩個交點之間的部分記為圖象G，把圖象G向左平移n（n＞0）個單位后得到的圖象記為M，請結合圖象回答：當（2）中得到的直線與圖象M有公共點時，求n的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵二次函數y=（t+1）x2+2（t+2）x+ 在x=0和x=2時的函數值相等，

∴對稱軸x=﹣ = =1，解得，t=﹣ ，

則二次函數的解析式為：y=（﹣ +1）x2+2（﹣ +2）x+ ，即y=﹣ （x+1）（x﹣3）或y=﹣ （x﹣1）2+2，

（2）解：∵二次函數的象經過點A（﹣3，m），

∴m=﹣ （﹣3+1）（﹣3﹣3）=﹣6．

又∵一次函數y=kx+6的圖象經過點A（﹣3，m），；

∴m=﹣3k+6，即﹣6=﹣3k+6，

解得，k=4．

綜上所述，m和k的值分別是﹣6、4；

（3）解：由題意可知，圖象G的解析式是y=﹣ x2+x+ =﹣ （x2﹣2x﹣3）=﹣ （x﹣3）（x+1），﹣1≤x≤3，

則拋物線平移后得出的圖象M的解析式是y=﹣ （x﹣3+n）（x+1+n），﹣n﹣1≤x≤3﹣n，

此時直線平的解析式是y=4x+6，

如果直線與平移后的二次函數相切，

則方程4x+6=﹣ （x﹣3+n）（x+1+n）有兩個相等的實數解，

即x2+（2n+6）x+n2﹣6n+9=0有兩個相等的實數解，。

判別式△=（2n+6）2﹣4×（n2﹣6n+9）=48n=0，

即n=0，

∵與已知n＞0相矛盾，

∴平移后的直線與平移后的拋物線不相切，

∴結合圖象可知，如果平移后的直線與拋物線有公共點，

則兩個臨界的交點為（﹣n﹣1，0），（3﹣n，0），

則0=4（﹣n﹣1）+6，

n= ，

0=4（3﹣n）+6，

n= ，

即n的取值范圍是： ≤n≤ ．

【解析】（1）根據已知條件知，該函數的對稱軸方程為x=1，從而根據對稱軸公式建立出關于t的方程,求出t的值，把t的值代入函數解析式即可，根據圖像與坐標軸的交點坐標，頂點坐標畫出圖像；
（2）求出A點的坐標，再用待定系數法求出k的值；
（3）由題意可知，圖象G的解析式是y=﹣ （x﹣3）（x+1），（﹣1≤x≤3，）得出拋物線平移后得出的圖象M的解析式是y=﹣ （x﹣3+n）（x+1+n），（﹣n﹣1≤x≤3﹣n），此時直線平的解析式是y=4x+6，如兩圖像有一個交點時，得出方程方程4x+6=﹣ （x﹣3+n）（x+1+n）有兩個相等的實數解，求出判別式△=（2n+6）2﹣4×（n2﹣6n+9）=48n=0，求出n的值與已知的值矛盾，得出平移后的直線與拋物線有兩個公共點，設出兩個臨界的交點為（﹣n﹣1，0），（3﹣n，0），代入直線的解析式求出n的值，即可得出答案