Question

【題目】如圖,已知△ABC中,∠ACB=90°,過C點作CD⊥AB,垂足為D,且AD=m,BD= n,AC2:BC2=2:1,又關于x的方程x2-2(n-1)x+m2-12=0，兩實數根的差的平方小于192，

求:m，n為整數時，一次函數y=mx+n的解析式.

Answer 1

【答案】當n=1，m=2時，所求解析式為y=2x+1；當n=2，m=4時，解析式為y=4x+2.

【解析】

由題意得到△ABC∽△ACD，根據△ABC∽△ACD，求出m和n之間的關系式；再根據根與系數的關系求出m、n的取值范圍，然后估算，即可求得一次函數的解析式．

過C點作CD⊥AB,垂足為D,則∠CDA=90°,又因為∠ACB=90°, ∠CDA=∠ACB,則故△ABC∽△ACD，根據相似三角形的性質可得，AC2=ADAB；同理可得△ABC∽△BCD，則，故BC2=BDAB，∵，∴，∴m=2n…①，

∵關于x的方程x2-2（n-1）x+m2-12=0有兩實數根，
∴△=[-2（n-1）]2-4××（m2-12）≥0，
∴4n2-m2-8n+16≥0，把①代入上式得n≤2…②，
設關于x的方程x2-2（n-1）x+m2-12=0的兩個實數根分別為x1，x2，
則x1+x2=8（n-1），x1x2=4（m2-2），
依題意有（x1-x2）2＜192，即[8（n-1）]2-16（m2-12）＜192，
∴4n2-m2-8n+4＜0，把①式代入上式得n＞…③，由②、③得＜n≤2，
∵m、n為整數，∴n的整數值為1，2，
當n=1，m=2時，所求解析式為y=2x+1；當n=2，m=4時，解析式為y=4x+2．